Czy jest sumą i sumą prostą

[Kanodelo]

Proszę o sprawdzenie tegoż zadania oraz ewentualną korektę, z góry dziękuję:

Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \mathcal{R}^n=V+W}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{R}^n=V\oplus W}\):
a) \(\displaystyle{ V=lin\left\{ (-3,-5),(6,-10)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ W=lin\left\{ (1,1)\right\}}\)
b) \(\displaystyle{ V=lin\left\{ (1,1,1),(2,2,5)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ W=lin\left\{ (0,0,6)\right\}}\)
c) \(\displaystyle{ V=lin\left\{ (1,1,1),(2,2,5)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ W=lin\left\{ (0,6,0)\right\}}\)
d) \(\displaystyle{ V=lin\left\{ (1,0,0),(0,1,0)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ W=lin\left\{ (1,1,1),(0,0,1)\right\}}\)

Moje rozwiązania:
a) suma - TAK, suma prosta - TAK
b) NIE, NIE
c) NIE, NIE
d) nie wiem - chyba już zgłupiałem

Niestety nie wiem, czy dobrze to rozumiem, pewno nie.

[norwimaj]

a) \(\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2}\). Nie jest to suma prosta.

d) Też nie jest to suma prosta, z takiego samego powodu
\(\displaystyle{ \dim V+\dim W = 2+2\ne3 = \dim \mathbb{R}^3}\).
Jest to suma, bo wektory \(\displaystyle{ (1,0,0), \;(0,1,0),\;(0,0,1)}\) rozpinają \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)

b) tak jak napisałeś

c) Zauważ, że masz tam trzy wektory liniowo niezależne. Będzie to suma prosta.