Wielomian charakterystyczny

[Majeskas]

Wielomian charakterystyczny macierzy A \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ W( \lambda)=\lambda ^{2}-tr(A)\lambda+det(A)}\)

Czy istnieje odpowiednik tego wzoru dla większych macierzy?

[M Ciesielski]

Oczywiście, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą \(\displaystyle{ n\times n}\), to \(\displaystyle{ W(\lambda) = det(A-\lambda \cdot I)}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową wymairu \(\displaystyle{ n \times n}\). Po prostu na przekątnej odejmujemy lambdy i liczymy wyznacznik - tyle

[norwimaj]

Wielomian charakterystyczny macierzy A \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ W( \lambda)=\lambda ^{2}-tr(A)+det(A)}\)

Czy istnieje odpowiednik tego wzoru dla większych macierzy?

Coś zgubiłeś:
\(\displaystyle{ W( \lambda)=\lambda ^{2}-tr(A)\lambda+det(A)}\)

Współczynnik przy \(\displaystyle{ \lambda^n}\) to zawsze \(\displaystyle{ (-1)^n}\). Przy \(\displaystyle{ \lambda^{n-1}}\) stoi \(\displaystyle{ (-1)^{n-1}\mathrm{tr}(A)}\). Wyraz wolny to \(\displaystyle{ \det(A)}\).
Na pozostałe współczynniki też da się wyprowadzić wzory, ale nie są one już takie proste.

To podobna sytuacja jak ze wzorami Viete'a dla wielomianów.

[xiikzodz]

Tak, ale dość skomplikowany.

\(\displaystyle{ \det A}\) to wyznacznik całej macierzy \(\displaystyle{ A}\), zaś \(\displaystyle{ \mbox{tr}A}\) to suma wyznaczników macierzy \(\displaystyle{ 1\times 1}\) na przekątnej. Można to rozumieć tak, że wyznacznik to minor powstały przez wykreślenie zera wierszy i kolumn, a ślad to suma minorów powstałych przez wykreślenie \(\displaystyle{ n-1}\) wierszy i \(\displaystyle{ n-1}\) kolumn o tych samych numerach. Tak samo otrzymujemy pozostałe współczynniki wielomianu charakterystycznego: sumujemy minory tej samej wielkości powstałe przez wykreślenie kolumn i wierszy o tych samych numerach dopisując im znak zależny od rozmiaru macierzy i liczby wykreślonych wierszy.

[Majeskas]

Dzięki.