Dla jakiego a należącego do R forma kwadratowa f jest dodatnio lub ujemnie określona?
\(\displaystyle{ f( x_{1} , x_{2} , x_{3} )=ax^{2} _{1}-8x ^{2} _{2}+16 x_{1} x_{2}}\)
forma kwadratowa
-
szw1710
forma kwadratowa
Forma \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) jest dodatnio (ujemnie) określona, jeśli \(\displaystyle{ f(x,y,z)>0\;\;(<0)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ (x,y,z)\ne(0,0,0).}\) Ale ponieważ wartość naszej formy nie zależy od trzeciej zmiennej, to mamy \(\displaystyle{ f(0,0,x_3)=0}\) niezależnie od \(\displaystyle{ x_3}\). Zatem dla wszystkich \(\displaystyle{ a}\) ta forma nie jest ani dodatnio określona, ani ujemnie określona.
Nie jestem do końca pewny, ale być może ta forma będzie dodatnio pół-określona lub ujemnie pół-określona dla niektórych \(\displaystyle{ a}\), co można by zbadać z twierdzenia Sylvestera rozważając tę formę jako formę dwóch zmiennych. Ale pisze to pod wielkim znakiem zapytania jako że nie mam za bardzo czasu na drążenie tego tematu, a wydaje mi się, że coś w tym może być. Niech wypowiedzą się w tej kwestii bardziej kompetentni specjaliści od algebry liniowej.
Nie jestem do końca pewny, ale być może ta forma będzie dodatnio pół-określona lub ujemnie pół-określona dla niektórych \(\displaystyle{ a}\), co można by zbadać z twierdzenia Sylvestera rozważając tę formę jako formę dwóch zmiennych. Ale pisze to pod wielkim znakiem zapytania jako że nie mam za bardzo czasu na drążenie tego tematu, a wydaje mi się, że coś w tym może być. Niech wypowiedzą się w tej kwestii bardziej kompetentni specjaliści od algebry liniowej.