odwzorowanie liniowe formy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
MetalMath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 30 mar 2011, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

odwzorowanie liniowe formy

Post autor: MetalMath »

i) Dla danej formy liniowej \(\displaystyle{ f(x, y, z)=2x-3y+2z}\) zadanej na przestrzeni \(\displaystyle{ \Re^{3}}\) podać takie odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ P : R^{3} \to R^{3}, P(x\prime, y\prime, z\prime) = (x, y, z)}\) , że \(\displaystyle{ f \circ P(x\prime, y\prime, z\prime) = x\prime}\).

ii) Dla formy \(\displaystyle{ f}\) z poprzedniego punktu podać odwzorowanie \(\displaystyle{ P}\) o macierzy ortogonalnej, takie że \(\displaystyle{ f \circ P(x\prime, y\prime, z\prime) = c x\prime}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c}\) . Czy można rozwiązać to zadanie tak, aby wartość tej stałej była równa 1, jak w poprzednim punkcie? Jaką wartość może mieć taka stała w ogólności (przy założeniu, że macierz odwzorowania jest ortogonalna)?

iii) Rozwiązać zadanie z punktów i–ii) dla formy liniowej f w ogólnej postaci \(\displaystyle{ f(x) = \sum_{j=1}^{3} a_{j}x_{j}}\)

Jak dotąd nikt nie potrafił sprostać temu zadaniu, bardzo Was proszę o pomoc
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

odwzorowanie liniowe formy

Post autor: norwimaj »

i) Świetnie pasuje \(\displaystyle{ P(x',y',z')=(x',x',x')}\).

Na temat pozostałych punktów nie mam zdania.-- 30 mar 2011, o 22:04 --Namyśliłem się nad ii. Chcemy znaleźć taką macierz \(\displaystyle{ P}\) rozmiaru \(\displaystyle{ 3\times3}\), aby zachodziła równość:

\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}2&-3&2\end{array}\right)\cdot P = \left(\begin{array}{ccc}c&0&0\end{array}\right)}\).

Niech zatem w pierwszym wierszu macierzy \(\displaystyle{ P}\) stanie unormowany wektor
\(\displaystyle{ v=\left(\begin{array}{c}2\\-3\\2\end{array}\right)}\),
a w pozostałych kolumnach, jakieś inne dwa wektory, które razem z powyższym tworzą bazę ortonormalną.

Nie da się tego zrobić tak, żeby \(\displaystyle{ c=1}\). Ponieważ w drugiej i trzeciej kolumnie muszą stać wektory ortogonalne do \(\displaystyle{ v}\) (inaczej nie wyjdą zera), to w pierwszej kolumnie musi stać unormowany wektor \(\displaystyle{ v}\) (bo inaczej macierz nie będzie ortogonalna).
MetalMath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 30 mar 2011, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

odwzorowanie liniowe formy

Post autor: MetalMath »

ooo super!

A mógłbyś proszę rozwinąć tok myślenia w w pierwszym podpunkcie? Na jakiej zasadzie wyznaczamy tutaj odwzorowanie liniowe?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

odwzorowanie liniowe formy

Post autor: norwimaj »

Na zasadzie zgadnięcia. Można też macierz z punktu ii podzielić przez \(\displaystyle{ c}\).
ODPOWIEDZ