Dowód na łączność mnożenia macierzy

petro · Post autor: **petro** » 27 mar 2011, o 22:13

Treść zadania:

Proszę udowodnić łączność mnożenia macierzy dla przypadku rzeczywistych macierzy 2x2. Sugeruję zastosowanie brutalnej metody. Następnie proszę pokazać, że dla macierzy 2x2 zachodzi det(AB) = det(A) * det(B) gdzie przez det() oznaczamy wyznacznik.

Prosiłbym o jakieś wskazówki jak się za to zabrać.

marcinz · Post autor: **marcinz** » 27 mar 2011, o 22:28

Może zastosuj się do sugestii? Weź trzy macierze, oznacz jakoś współczynniki. Pomnóż to co trzeba i zobacz, że się zgadza.

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 27 mar 2011, o 22:48

druga część zadania:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ AB=\begin{bmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{bmatrix}}\).
\(\displaystyle{ detA=ad-bc\\
detB=eh-fg\\
det(AB)=(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg)=aecf+aedh+bgcf+bgdh-afce-afdg-bhce-bhdg=aedh+bgcf-afdg-bhce\\
detA \cdot detB=(ad-bc)(eh-fg)=adeh+bcfg-adfg-bceh.}\)
Jak widać wszystko się zgadza. Ogólnie wynika to z tw. Cauchy'ego.
Pozdrawiam!