Równanie macierzowe

Johnny_Bit · Post autor: **Johnny_Bit** » 28 gru 2006, o 13:45

mam równanie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&-1\\5&-2\end{array}\right] * X * ft[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right] = ft[\begin{array}{cc}14&16\\9&10\end{array}\right]}\)
Gdzie X to macierz 2x2.

Nie mogę tego za nic rozwiązać, co kombinuje to wynik, który na pierwszy rzut oka wydaje się być dobry po sprawdzeniu okazuje się być błędny. Nawet dla przyśpieszenia rachunków napisałem sobie programiki w C++, które działają poprawnie (potwierdzają mój błąd).

Nawet próbowałem pomnożyć macierze po lewej stronie równania i otrzymać równanie Cramera, ale to i tak dało złe rozwiązanie.

Jak to zrobić?

//Edit:

Żeby było może jaśniej, jak to kombinowałem:
Po przemnożeniu wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}15w-5y+21x-7z&18w-6y+24x-8z\\25w-10y+35x-14z&30w-12y+40x-16z\end{array}\right] = ft[\begin{array}{cc}14&16\\9&10\end{array}\right]}\)
Wiedząc że macierze są równe w tedy gdy mają ten sam wymiar i wartości na odpowiednich miejscach są równe, stworzyłem układ Cramera (wyznacznik = -4 ):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}15w-5y+21x-7z=14\\18w-6y+24x-8z=16\\25w-10y+35x-14z=9\\30w-12y+40x-16z=10\end{array}}\)

w takim razie \(\displaystyle{ X=A^{-1}B}\), co daje po podstawieniu i wyliczneniu
\(\displaystyle{ X = ft[\begin{array}{c}1\\3\\2\\4\end{array}\right]}\)

ale to nie jest poprawne rozwiązanie i gdzieś musiałem się pomylić albo obrać złą drogę rozwiązywania.

wb · Post autor: wb » 28 gru 2006, o 15:33

Znajdź macierze odwrotne do:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&-1\\5&-2\end{array}\right] \\ ft[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right]}\)

a następnie wyznacz rozwiązanie przez wykonanie mnożeń:
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}3&-1\\5&-2\end{array}\right]^{-1}\cdot ft[\begin{array}{cc}14&16\\9&10\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right]^{-1}}\)

[ Dodano: 28 Grudzień 2006, 16:02 ]
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&-1\\5&-2\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2&-1\\5&-3\end{array}\right] \\ ft[\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-4&3\\ \frac{7}{2}& \frac{-5}{2}\end{array}\right] \\ X=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]}\)

Johnny_Bit · Post autor: **Johnny_Bit** » 28 gru 2006, o 16:19

a więc dobrze robiłem, tylko pomyliłem się w programie i za bardzo wierzyłem w swoją nieomylność programistyczną...

Dzięki wielkie, na prawdę pomogłeś mi!