Jak określa się rząd macierzy???
-
aikon
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 48 razy
Jak określa się rząd macierzy???
Z definicji, rząd macierzy to najwyższy stopień jej niezerowego minora.
Z kolei minor to wyznacznik utworzony z elementów macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych k-kolumn i k-wierszy.
Na przykład mając taką macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\5&4&2\end{array}\right]}\)
To wszystkie jej minory są drugiego stopnia i mają postać:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&3\\5&4\end{array}\right| \ ft|\begin{array}{cc}3&2\\4&2\end{array}\right| \ ft|\begin{array}{cc}1&2\\5&2\end{array}\right|}\)
A minory pierwszego stopnia to: 1, 3, 2, 5, 4, 2.
Czyli rząd tej macierzy jest równy 2, bo najwyższy stopień jej niezerowego minora jest równy 2.
W przypadku gdy masz daną macierz schodkową (to taka, gdzie pierwsze niezerowe elementy w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach), rząd macierzy schodkowej jest równy ilości niezerowych wierszy.
Na przykład mając taką macierz schodkową:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&0\\0&3&4&0&1\\0&0&1&0&2\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Jej rząd jest równy 3, bo masz trzy niezerowe wiersze.
Do obliczania rzędu macierzy możesz stosować rózne przekształcenia elementarne nie zmieniające rzędu, czyli:
- zamiana miejscami wierszy (lub kolumn)
- mnożenie wiersza lub kolumny przez liczbę (ale nie przez 0)
- Dodawanie do siebie wierszy lub kolumn
- skreślenie zerowego wiersza
Czyli np. chcąc wyliczyć rząd takiej śmiesznej macierzy:
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccccc}-2&1&-3&1&-5\\45&15&30&-60&75\\5&3&2&-8&7\end{array}\right]}\)
Przy pomocy powyższych przekształceń możesz dojść do czegoś takiego:
(nie chce mi się pisać kolejnych przekształceń, ale wystarczy najpierw podzielić drugi wiersz przez 15, potem poodejmować pare wierszy od siebie i będzie)
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-3&1&-5\\0&11&1&-1&2\\0&0&0&0&0\end{array}\right] = 2}\)
Jak widać rząd tej macierzy jest równy 2.
Z kolei minor to wyznacznik utworzony z elementów macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych k-kolumn i k-wierszy.
Na przykład mając taką macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\5&4&2\end{array}\right]}\)
To wszystkie jej minory są drugiego stopnia i mają postać:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&3\\5&4\end{array}\right| \ ft|\begin{array}{cc}3&2\\4&2\end{array}\right| \ ft|\begin{array}{cc}1&2\\5&2\end{array}\right|}\)
A minory pierwszego stopnia to: 1, 3, 2, 5, 4, 2.
Czyli rząd tej macierzy jest równy 2, bo najwyższy stopień jej niezerowego minora jest równy 2.
W przypadku gdy masz daną macierz schodkową (to taka, gdzie pierwsze niezerowe elementy w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach), rząd macierzy schodkowej jest równy ilości niezerowych wierszy.
Na przykład mając taką macierz schodkową:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&1&2&0\\0&3&4&0&1\\0&0&1&0&2\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Jej rząd jest równy 3, bo masz trzy niezerowe wiersze.
Do obliczania rzędu macierzy możesz stosować rózne przekształcenia elementarne nie zmieniające rzędu, czyli:
- zamiana miejscami wierszy (lub kolumn)
- mnożenie wiersza lub kolumny przez liczbę (ale nie przez 0)
- Dodawanie do siebie wierszy lub kolumn
- skreślenie zerowego wiersza
Czyli np. chcąc wyliczyć rząd takiej śmiesznej macierzy:
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccccc}-2&1&-3&1&-5\\45&15&30&-60&75\\5&3&2&-8&7\end{array}\right]}\)
Przy pomocy powyższych przekształceń możesz dojść do czegoś takiego:
(nie chce mi się pisać kolejnych przekształceń, ale wystarczy najpierw podzielić drugi wiersz przez 15, potem poodejmować pare wierszy od siebie i będzie)
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-3&1&-5\\0&11&1&-1&2\\0&0&0&0&0\end{array}\right] = 2}\)
Jak widać rząd tej macierzy jest równy 2.