Wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ u}\), który jest rzutem ortogonalnym wektora \(\displaystyle{ b}\), na kierunek wektora \(\displaystyle{ a}\). Obliczyć długość wektora \(\displaystyle{ u}\).
\(\displaystyle{ a=(3,4),\ b=(1,-2)}\)
Rzut ortogonalny wektora
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Rzut ortogonalny wektora
Znajdź wektor prostopadły do \(\displaystyle{ [3,4]}\): jest nim na przykład \(\displaystyle{ [-4,3]}\). Długości obu wektorów wynoszą 5, a więc układ
\(\displaystyle{ [\frac{3}{5}, \frac{4}{5}], [-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}]}\) jest bazą ortonormalną płaszczyzny.
Znajdźmy współrzędne \(\displaystyle{ [-1,2]}\) w tej bazie:
\(\displaystyle{ [-1,2]=a[frac{3}{5}, frac{4}{5}]+b[-frac{4}{5}, frac{3}{5}]= [frac{3a}{5}-frac{4b}{5}, frac{4a}{5}+frac{3b}{b}}\)
Bez trudu wyliczamy, że
\(\displaystyle{ a=1, b=2}\).
Rzutem wektora na prostą wyznaczoną przez wektor \(\displaystyle{ [3,4]}\) jest wektor \(\displaystyle{ a[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]=[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]}\).
\(\displaystyle{ [\frac{3}{5}, \frac{4}{5}], [-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}]}\) jest bazą ortonormalną płaszczyzny.
Znajdźmy współrzędne \(\displaystyle{ [-1,2]}\) w tej bazie:
\(\displaystyle{ [-1,2]=a[frac{3}{5}, frac{4}{5}]+b[-frac{4}{5}, frac{3}{5}]= [frac{3a}{5}-frac{4b}{5}, frac{4a}{5}+frac{3b}{b}}\)
Bez trudu wyliczamy, że
\(\displaystyle{ a=1, b=2}\).
Rzutem wektora na prostą wyznaczoną przez wektor \(\displaystyle{ [3,4]}\) jest wektor \(\displaystyle{ a[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]=[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]}\).