Znajdowanie przestrzeni własnych

[MakCis]

Mam problem ze znajdowaniem (a raczej opisem) przestrzeni wlasnych.

1. Znajdź wartości własne przekształcenia liniowego zadanego macierzą \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -&3&-1\\0&1&-2\\0&0&-3\end{bmatrix}}\). Uzasadnij, że przestrzeń własna dla każdej z tych wartości własnych jest prostą zawierającą punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i opisz każdą z tych prostych dwoma sposobami:
a) jako część wspólną dwóch plaszczyzn danych za pomocą równań ogólnych
b) przy pomocy równania parametrycznego

Wartości własne to oczywiście \(\displaystyle{ 1, -2, -3}\). Chcialbym, żeby ktoś mi wytłumaczył jak to zrobić na przykładzie np. \(\displaystyle{ t=-3}\).


Chciałbym poprosić jeszcze o pomoc w takim zadaniu:
2. Niech \(\displaystyle{ T: \quad R^3 \rightarrow R^3}\) będzie przekształceniem liniowym spelniającym warunek \(\displaystyle{ T^2 = 0}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ 0}\) jest wartoscia własną przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) pokazując, że musi istnieć niezerowy wektor \(\displaystyle{ X \in R^3}\) dla którego \(\displaystyle{ T(X)=0 \cdot X = 0}\) (wziąć w tym celu dowolny wektor\(\displaystyle{ Y \neq 0}\) i popatrzeć na wektory \(\displaystyle{ T(Y)}\) oraz \(\displaystyle{ T(T(Y))}\)).

[alfgordon]

1)rozwiązujesz układ:
\(\displaystyle{ AX=\overline{0}}\)
gdzie \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\)

a \(\displaystyle{ 0}\) to kolumna zer

[MakCis]

A skąd to się bierze? Przecież przestrzeń własna to zbiór \(\displaystyle{ E_t =\left\{ X \in R^3: \quad T(X)=tX \right\}}\) więc jeśli już coś miałbym przyrównywać do zera to chyba raczej \(\displaystyle{ T(X)-tX=0 ...}\)