znajdź określoność formy kwadratowej

[malenstwo31]

znajdź określoność formy kwadratowej na podstawie twierdzenia Sylwestra
\(\displaystyle{ f( x_{1}, x_{2}, x_{3} )= x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2}+x_{3} ^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}}\)


napisałam macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\-1&1&-1\\0&-1&1\end{array}\right]}\)
i obliczyłam minory główne
\(\displaystyle{ d_{1}=1 >0}\)

\(\displaystyle{ d_{2}=0}\)

\(\displaystyle{ d_{3}=-1 <0}\)
i mam pytanie jak okreslona jest ta macierz, gdy minor \(\displaystyle{ d_{2}=0}\)? dzieki

[szw1710]

Czy na pewno \(\displaystyle{ d_2=0}\)? TAK - mój błąd

Trzeba badać określoność powyższej formy kwadratowej z definicji, gdyż jak widzisz, kryterium Sylvestera nie działa. Obstawiam, że forma jest nieokreślona. Spróbuj znaleźć takie 2 punkty, że w jednym z nich wartość formy jest dodatnia, a w drugim ujemna.

To moje przypuszczenie, niekoniecznie musi znaleźć potwierdzenie. Jest też "dodatek" do kryterium Sylvestera mówiący, kiedy forma jest nieokreślona, ale musiałbym go sobie przypomnieć. Może prościej "na piechotę".

\(\displaystyle{ f(1,1,1)=-1<0}\)

Szukamy wartości dodatniej.

Sprawdź \(\displaystyle{ f(1,-1,0)}\)

[malenstwo31]

jest nieokreślona gdy na głównej przekatnej ma elementy różnych znaków, albo na przekatnej wartosć O w kolumnie niezerowej ale to tez nic nie daje...ale dzieki za podpowiedź:)

[szw1710]

Nie musisz na siłę stosować twierdzeń zwłaszcza, gdy nie działają Czasem sprawdzenie z definicji jest proste. Tak jest tutaj.

A czasem - koszmarne Po to czasem są twierdzenia. Np. nikt o zdrowych zmysłach nie będzie liczył pochodnych z definicji

[malenstwo31]

racja:) bardzo dziekuję za pomoc

[maciejsporysz]

Dobrze w takich wypadkach posłużyć się trikiem ze sprowadzaniem do wzoru skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ (x_1-x_2)^2+(x_3-x_2)^2-{x_2}^2}\)
teraz już widać, że forma kwadratowa może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.

[szw1710]

Zgoda. Podoba mi się Twoje rozwiązanie, Macieju. Jednak czasem intuicja jest niezastąpiona. Np. będąc w niedoczasie na kolokwium

[maciejsporysz]

Dziękuję. Mi też się podobają takie niestandardowe rozwiązania. Zwłaszcza na kolokwiach jak się jest już mocno spóżnionym.