Macierz Jordana operatora

[aid]

Wiedząc, że:

\(\displaystyle{ L(v_1) = v_2, L(v_2) = 0, L(v_3) = 0, L(v_4) = av_1 + bv_2 + cv_3}\)

wyznaczyć macierz Jordana \(\displaystyle{ L}\) w zależności od \(\displaystyle{ a, b, c}\).

Jak się do tego zabrać? Z góry dzięki za pomoc.

[norwimaj]

Mniemam, że \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4}\) to baza przestrzeni.

Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ L^3}\) to zawsze jest \(\displaystyle{ 0}\). Zatem na przekątnej będą same zera.

Przypadek 1: \(\displaystyle{ a=b=c=0}\). Wtedy mamy dokładnie trzy wektory własne, więc będą dwie klatki rozmiaru \(\displaystyle{ 1}\) i jedna rozmiaru \(\displaystyle{ 2}\), czyli nad przekątną będzie jedna jedynka.

Przypadek 2: \(\displaystyle{ a=0}\), ale \(\displaystyle{ b\ne0}\) lub \(\displaystyle{ c\ne0}\). Tym razem dwa wektory własne, więc dwie klatki. \(\displaystyle{ L^2=0}\), więc klatki są rozmiaru co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\). Mamy więc dwie klatki rozmiaru \(\displaystyle{ 2}\)

Przypadek 3: \(\displaystyle{ a\ne0}\). Znowu dwie klatki. \(\displaystyle{ L^2\ne0}\), więc odpada przypadek, gdy obie klatki są rozmiaru \(\displaystyle{ 2}\). Zatem jest jedna klatka rozmiaru \(\displaystyle{ 3}\) i jedna rozmiaru \(\displaystyle{ 1}\).

[aid]

Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ L^3}\) to zawsze jest \(\displaystyle{ 0}\). Zatem na przekątnej będą same zera.

Skąd to wynika?

Ponadto, dlaczego liczba klatek = liczba wektorów własnych?

[norwimaj]

Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ L^3}\) to zawsze jest \(\displaystyle{ 0}\). Zatem na przekątnej będą same zera.

Skąd to wynika?

Ze wzoru na \(\displaystyle{ L}\).

Ponadto, dlaczego liczba klatek = liczba wektorów własnych?

Liczba klatek odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) to wymiar jądra przekształcenia \(\displaystyle{ L-\lambda}\). Jeśli nie wierzysz to spójrz na jakąkolwiek macierz Jordana i zobacz że tak jest.