Mam takie zadanie
Niech V będzie zbiorem macierzy \(\displaystyle{ A: M_{m \times n}(K)}\) dla ktorych suma elementow każdego wiersza jest rowna 0.Wykaż, że V jest przestrzenią liniową nad ciałem K i znajdź bazę tej przestrzeni.
Ja zrobilem tak
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &....& a_{1i} \\..&..&....& a_{2i} \\..&..&....& a_{3i} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} &....& b_{1i} \\..&..&....& b_{2i} \\..&..&....& b_{3i}\end{bmatrix}}\)
no to jeżeli \(\displaystyle{ a_{11}+ a_{12}+....+a_{1i}=0 i b_{11}+ b_{12}+....+b_{1i}=0}\)
to tym bardziej
\(\displaystyle{ a_{11}+ a_{12}+....+a_{1i}+b_{11}+ b_{12}+....+b_{1i}=0}\)
sprawdzilem dodawanie wektorow teraz sprawdze mnożenie przez skalar wiec
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &....& a_{1i} \\..&..&....& a_{2i} \\..&..&....& a_{3i} \end{bmatrix}}\)
więc
\(\displaystyle{ (a_{11}+ a_{12}+....+a_{1i}) \cdot \alpha=0}\)
i tak samo bedzie ze wszystkimi wierszami i kolumnami macierzy wiec jest przestrzenią liniową nad cialem K.
Dobrze to jest?