Proste prostopadłe

[Kas1a]

Więc mamy \(\displaystyle{ l_{1}:(t-1,1,2t) i l _{2}:(-t,t,2t+2)}\)
1) Jak wyglądają proste prostopadłe do \(\displaystyle{ l_{1} i l_{2}}\)

Wiem, że muszę obliczyć iloczyn wektorowy (1,1,2)x(-1,1,2), wyszedł mi (-2,-4,1)

czyli \(\displaystyle{ l_{3}:=(-2s+a,-4s+b,s+c)}\)

i teraz porównuję?
Czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} t-1=-2s+a\\1=-4s+b\\ 2t=s+c\end{cases}}\)
Dobrze myślę?

[xiikzodz]

Iloczyn wektorowy wyszedł ok, mimo, że jeden z wektorów źle wypisany:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}}\)

Rozwiązaniem jest więc zbiór wszystkich prostych postaci:

\(\displaystyle{ \{P+t\cdot (-2,-4,1)^T:t\in\mathbb{R}\}}\)

dla \(\displaystyle{ P\in\mathbb{R}^3}\). To w zupełności wystarcza, chyba, że chcemy mieć te proste w postaci równań. Wówczas na przykład znajdujemy prostą z tej rodziny przechodząca przez zero:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+2z=0\\
y+4z=0\end{cases}}\)

następnie przez dowolny punkt \(\displaystyle{ (p_1,p_2,p_3)}\) przesuwając:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x-p_1+2(z-p_3)=0\\
y-p_2+4(z-p_3)=0\end{cases}}\)

co po przekształceniu przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+2z=p_1+2p_3\\
y+4z=p_2+4p_3\end{cases}}\)