Ślad rzutu liniowego

[aid]

Jak dowieść, że ślad rzutu liniowego jest równy rzędowi jego macierzy?

Z góry dziękuję za pomoc.

[norwimaj]

Ponieważ ślad jest niezmiennikiem podobieństwa macierzy, to możesz wybrać sobie taką macierz rzutu, która jest możliwie najprostsza.

Powiedzmy, że rzutujesz na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\) wzdłuż podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\), bazą \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_k)}\), a bazą \(\displaystyle{ U}\) jest \(\displaystyle{ (\beta_1, \beta_2,\ldots,\beta_l)}\). Zastanów się, jak będzie wyglądała macierz rzutu w bazie \(\displaystyle{ (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_k,\beta_1, \beta_2,\ldots,\beta_l)}\). Jak już ją sobie wyobrazisz to zobaczysz, że jej ślad to \(\displaystyle{ k}\).

[fon_nojman]

Wskazówka:

Rzut \(\displaystyle{ P}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ \{ty:t\in \mathbb{R}\},\ \|y\|=1}\) jest postaci

\(\displaystyle{ Px=(y,x)y.}\)

[norwimaj]

Wskazówka:

Rzut \(\displaystyle{ P}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ \{ty:t\in \mathbb{R}\},\ \|y\|=1}\) jest postaci

\(\displaystyle{ Px=(y,x)y.}\)

A kto tu mówił o przestrzeni Hilberta i rzucie ortogonalnym? Miał być dowolny rzut liniowy w zwykłej przestrzeni liniowej.

[fon_nojman]

Kurde, myślałem że to to samo jest. Co to jest ten rzut liniowy?

[norwimaj]

Kurde, myślałem że to to samo jest. Co to jest ten rzut liniowy?

Jeśli przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V}\) jest sumą prostą dwóch przestrzeni \(\displaystyle{ V=W\oplus U}\), to rzutem na \(\displaystyle{ W}\) wzdłuż \(\displaystyle{ U}\) jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L}\), takie że \(\displaystyle{ L(w+u)=w}\) dla \(\displaystyle{ w\in W,\;u\in U}\).

Przykład:
Jeśli \(\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2,\;W=\mathbb{R}\cdot(1,0),\;U=\mathbb{R}\cdot(-1,1)}\),
to rzutem na \(\displaystyle{ W}\) wzdłuż \(\displaystyle{ U}\) wektora \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest \(\displaystyle{ (1,0)}\).
Jak widać, nie jest to rzut ortogonalny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) ze standardowym iloczynem skalarnym.

[fon_nojman]

Ahaaa... czyli w skrócie bierzemy sobie wektorek \(\displaystyle{ (x_1,x_2,\ldots ,x_n)}\) w odpowiedniej bazie i obcinamy parę współrzędnych np \(\displaystyle{ (x_1,x_2,\ldots ,x_k),\ k<n.}\) To proste