Odwracalność przekształceń liniowych

[MakCis]

Zad.1
Uzasadnij bezpośrednio z definicji, że jeśli macierz\(\displaystyle{ m}\) jest odwracalna, to posiada dokładnie jedną macierz odwrotną.

Zad.2
\(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ S}\) są przekształceniami pewnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\), przy czym \(\displaystyle{ T}\) jest odwracalne, zaś \(\displaystyle{ S}\) nie jest.

a) uzasadnij bezpośrednio z definicji odwracalności, że złożenie \(\displaystyle{ T \circ S}\) i \(\displaystyle{ S \circ T}\) nie są odwracalne (przekształcenie jest odwracalne, jeśli jest 1-1 i na).

W tym podpunkcie rozważałem dwa przypadki (1. gdy S nie jest 1-1 i 2. gdy S nie jest na) ale w tym drugim do niczego konkretnego nie dochodzę)

b) Dla przypadku gdy przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ S}\) są przekształceniami liniowymi R^3 uzasadnij, że złożenia \(\displaystyle{ T \circ S}\) i \(\displaystyle{ S \circ T}\) są nieodwracalne posługując się macierzami tych przekształceń oraz ich wyznacznikami.

Zad.3
Posługując się wzorem na wyznacznik iloczynu macierzy uzasadnij, że iloczyn macierzy odwracalnej z macierzą nieodwracalną jest macierzą nieodwracalną.

[pipol]

1)\(\displaystyle{ xy=1 \wedge yx=1 \wedge xz=1 \Rightarrow y=y(xz)=(yx)z=z}\)

[MakCis]

Mógłbyś cokolwiek wyjasnić?

[fon_nojman]

zad 2
a) 2. \(\displaystyle{ S}\) nie jest "na" czyli wtedy też \(\displaystyle{ ST}\) nie jest "na". Istotnie, \(\displaystyle{ ST(Z) \subset S(Z).\ TS}\) nie jest "na" bo \(\displaystyle{ TS(Z)}\) - podzbiór właściwy \(\displaystyle{ Z}\) z różnowartościowości \(\displaystyle{ T.}\)

b) oraz zad 3 skorzystać z \(\displaystyle{ \det(ST)=\det(TS)=\det S\cdot \det T.}\)

zad 3 - rozumiem, że wszystko dzieje się w przestrzeni skończenie wymiarowej?