Metoda eliminacji gaussa

[marekz]

\(\displaystyle{ x_{1}+2 x_{2}+ 3x_{3}- x_{4}=-1}\)
\(\displaystyle{ 3x_{1}+6x_{2}+ 7x_{3}+x_{4}=5}\)
\(\displaystyle{ 2x_{1}+4x_{2}+ 4x_{3}+2x_{4}=6}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&-1\\3&6&7&1\\2&4&4&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\5\\6\end{bmatrix}}\)

Metodą eliminacji gaussa wyznaczyc roziwaznie ukladu.
Jak to rozwiazac jesli macierz ma inna liczbe wierszy kolumn?

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ x_{1}+2 x_{2}+ 3x_{3}- x_{4}=-1}\)
\(\displaystyle{ 3x_{1}+6x_{2}+ 7x_{3}+x_{4}=5}\)
\(\displaystyle{ 2x_{1}+4x_{2}+ 4x_{3}+2x_{4}=6}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&-1\\3&6&7&1\\2&4&4&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\5\\6\end{bmatrix}}\)

Metodą eliminacji gaussa wyznaczyc roziwaznie ukladu.
Jak to rozwiazac jesli macierz ma inna liczbe wierszy kolumn?

Normalnie eliminujesz niewiadome, tylko na koniec zostanie ci jedno równanie z dwiema niewiadomymi, jedną z nich przyjmiesz sobie za parametr.

[marekz]

a mozna prosić o rozwiązanie jak to dokładnie bedzie wyglądac?

[Psiaczek]

a mozna prosić o rozwiązanie jak to dokładnie bedzie wyglądac?

Pomnóż pierwsze równanie przez -3, dodaj do drugiego. Pomnóż pierwsze równanie przez -2, dodaj do trzeciego.
Napisz co otrzymałeś to pójdziemy dalej.

[marekz]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&-1\\0&0&-2&4\\0&0&-2&4\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1\\8\\8\end{bmatrix}}\)

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&-1\\0&0&-2&4\\0&0&-2&4\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1\\8\\8\end{bmatrix}}\)

No i widzisz jak ładnie, dwa takie same równania ci zostały, będzie o jeden krok mniej do roboty.

masz więc końcowe równanie \(\displaystyle{ -2x _{3}+4x _{4} =8}\)

po podzieleniu przez 2: \(\displaystyle{ -x _{3}+2x _{4} =4}\)

wyznaczamy z tego \(\displaystyle{ x _{3}=2x _{4} -4}\)

i teraz przyjmujesz na przyklad \(\displaystyle{ x _{4}}\) jako parametr \(\displaystyle{ x _{4}=m}\)

wtedy \(\displaystyle{ x _{3}=2m-4}\) ,podstawiamy obie te rzeczy do pierwszego równania przy użyciu którego eliminowaliśmy niewiadome , co otrzymasz wtedy?

[marekz]

\(\displaystyle{ -2m+4+2m=4}\)

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ -2m+4+2m=4}\)

Podstaw do PIERWSZEGO równania wyjściowego układu, gdzie były wszystkie cztery niewiadome

[marekz]

ah.

\(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2}+5m-12=-1}\)

[Psiaczek]

ah.

\(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2}+5m-12=-1}\)

Dobrze podstawiłeś.

Teraz będziesz musiał znów którąś z dwóch niewiadomych pozostałych sparametryzować(gdyż masz tylko jedno równanie). Niech na przykład

\(\displaystyle{ x _{2}=p}\)

Wtedy z tego równania jeśli się nie pomyliłem będzie \(\displaystyle{ x _{1} =-5m-p+11}\)

Zbierz te wszystkie iksy w jeden słupek i masz dwuparametrową rodzinę rozwiązań tego układu.

[marekz]

\(\displaystyle{ x_{1}=-5m-p+11}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=p}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=2m-4}\)
\(\displaystyle{ x_{4}=m}\)

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ x_{1}=-5m-p+11}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=p}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=2m-4}\)
\(\displaystyle{ x_{4}=m}\)

Właśnie tak. I napisz że p,m przebiegają wszystkie liczby rzeczywiste (mialeś ten układ zapewne w liczbach rzeczywistych rozwiązać?)

[marekz]

Nic takiego w zadaniu nie bylo podane.
Co dalej?
A jest moze sposob na rozwiazanie tego bez parametrów?

[Psiaczek]

Nic takiego w zadaniu nie bylo podane.
Co dalej?
A jest moze sposob na rozwiazanie tego bez parametrów?

Jeżeli masz tak jak tutaj było 3 równania z 4 niewiadomymi, musi być przynajmniej jeden parametr, a ten nasz układ okazał się można rzec "zdegenerowany" i były potrzebne aż dwa parametry .