Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
chan_rozwielikaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Trójmiasto
Pomógł: 1 raz

Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Post autor: chan_rozwielikaty »

Czym różni się zastosowanie metody wzorów Cramera od wykorzystania twierdzenia Cronechera-Capellego? Chodzi mi o to, kiedy można stosować wzory, a kiedy trzeba liczyć rząd macierzy danej i uzupełniającej, dla jakich rodzajów macierzy?

Mógłby mi ktoś to w jasny sposób wyjaśnić?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Post autor: miki999 »

Wzory Cramera służą do wyznaczenia rozwiązania. Tw. Kroneckera-Capellego służy jedynie do określenia ile tych rozwiązań jest.
Zatem jeżeli istnieje podejrzenie, że układ równań jest sprzeczny albo nieoznaczony, to wypada użyć tw. K-C. Czyli np. mamy układ 2 równań z 5 niewiadomymi (podejrzenie, że może istnieć \(\displaystyle{ \infty}\) rozwiązań) albo widać, że któryś wiersz jest kombinacją liniową pozostałych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y=7 \\ 4x+2y=8\end{cases}}\)

Oczywiście w tych wyznacznikach ze wzorów Cramera ujawni się nieoznaczoność lub sprzeczność układu poprzez wyzerowanie wyznacznika.


Pozdrawiam.
chan_rozwielikaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Trójmiasto
Pomógł: 1 raz

Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Post autor: chan_rozwielikaty »

aha, czyli chcąc rozwiązać układ równań, w którym na oko widać, że będzie \(\displaystyle{ \infty}\) wiele rozwiązań, muszę użyć metody Kroneckera-Capellego?

lub również:
Jeżeli układ równań jest obszerny, tak, że policzenia wyznaczników macierzy z podstawionym wyrazem wolnym zajełoby wieczność, to wtedy lepiej skorzystać z drugiego twierdzenia?
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Post autor: kristoffwp »

Twierdzenie K-C rozstrzyga, ile rozwiązań ma układ. To napisał Ci miki. Teraz piszesz, że wiedząc, że jest ich nieskończenie wiele, chcesz do rozwiązania użyć twierdzenia K-C. Czy widziałaś w tym twierdzeniu jakiś algorytm na znalezienie rozwiązania? Bo ja nie.
chan_rozwielikaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Trójmiasto
Pomógł: 1 raz

Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Post autor: chan_rozwielikaty »

masz rację, inaczej to zinterpretowałam, przy nieskończonej liczbie rozwiązań można podstawić, ale potemi tak oblicza się ze wzorów Cramera.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Post autor: Mariusz M »

kristoffwp pisze:Twierdzenie K-C rozstrzyga, ile rozwiązań ma układ. To napisał Ci miki. Teraz piszesz, że wiedząc, że jest ich nieskończenie wiele, chcesz do rozwiązania użyć twierdzenia K-C. Czy widziałaś w tym twierdzeniu jakiś algorytm na znalezienie rozwiązania? Bo ja nie.
Być może ludzie mylą twierdzenie Kroneckera-Capellego
z eliminacją Gaussa-Jordana ponieważ gdy liczysz rzędy
za pomocą eliminacji Gaussa-Jordana to jako efekt uboczny
można dostać także rozwiązanie układu równań
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Wzory Cramera a twierdzenie Cronechera-Capellego

Post autor: kristoffwp »

Dla mnie to męczenie układów równań jest stratą czasu. Ale masz rację, ludzie mylą te dwie rzeczy.
ODPOWIEDZ