Twierdzenia o dualności - zastosowanie

[Miroslav]

Witam, mam dane takie zagadnienie prymalne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20x_1+12x_2+12x_3 \rightarrow min\\3x_1+2x_2+2x_3\geqslant 3\\ 4x_1+4x_2+3x_3\geqslant 9\\x_1,x_2,x_3\geqslant 0\end{cases}}\)

Utworzyłem do niego takie zagadnienie dualne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3y_1+y_2 \rightarrow max\\3y_1+4y_2\leqslant 20\\2y_1+4y_2\leqslant 12\\2y_1+3y_2\leqslant 12\\y_1,y_2\geqslant 0\end{cases}}\)

Wyznaczyłem rozwiązanie optymalne zadania dualnego \(\displaystyle{ A = (0,3)}\), i tutaj zaczyna się problem. Mam teraz wyznaczyć rozwiązanie optymalne zadania prymalnego, korzystając z twierdzeń o dualności. Mógłby mi ktoś pojaśnić jak to się robi ?

[norwimaj]

Nie znam się na tym, ale ja bym to robił tak:
Skoro mamy wyznaczone \(\displaystyle{ A=(0,3)}\), to podstawiamy je do \(\displaystyle{ 3y_1+y_2}\), żeby wyliczyć maksimum drugiego zagadnienia. Z twierdzenia o dualności wiemy, że jest to jednocześnie minimum pierwszego zagadnienia. Rozwiązanie pierwszego zagadnienia leży w którymś z wierzchołków wielościanu, więc będzie to rozwiązanie układu trzech równań, gdzie pierwsze równanie to
\(\displaystyle{ 20x_1+12x_2+12x_3=max}\),
gdzie \(\displaystyle{ max}\) jest wyliczonym maksimum.
Dwa pozostałe równania to dwie z pięciu nierówności, z zamienionymi znakami \(\displaystyle{ \ge}\) na \(\displaystyle{ =}\). Które dwie, tego nie wiem, więc sprawdzałbym po kolei. Najpierw
\(\displaystyle{ \begin{cases}20x_1+12x_2+12x_3=max\\x_1=0\\x_2=0\end{cases}}\)
i pozostałe z dwoma zerami, bo są najprostsze do sprawdzenia. Potem przypadki z jednym zerem, itd. Jak znajdziemy układ niesprzeczny, to już.

Jeszcze raz podkreślam, że kompletnie się na tym nie znam, więc być może istnieje jakiś szybszy sposób niż podany przeze mnie.