Czy zbiór macierzy jest grupą

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 13 mar 2011, o 11:31

Czy zbiór wszystkich macierzy postaci \(\displaystyle{ C=A^{k} \cdot B^{l}}\), gdzie \(\displaystyle{ k,l \in Z}\) jest grupą ze względu na mnożenie macierzy?

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 0&1\\-1&0\end{bmatrix} \\
B= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0\end{bmatrix}}\)

można zauważyć, że \(\displaystyle{ \det A= \det B=1, \det A \cdot \det B=1}\)

1.Istnieje element neutralny czyli macierz jednostkowa
2.Dla każdej macierzy istnieje jej macierz odwrotna
3. czy to działanie jest łączne?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 mar 2011, o 11:41

Problem masz konkretnie jaki/?

Definicje grupy znamy/ ? Znamy bo podalismy. Prosze zatem te trzy warunki pokazac

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 13 mar 2011, o 11:50

jak pokazać, że to działanie jest łączne?, bo element odwrotny to macierz odwrotna, a element neutralny to macierz jednostkowa, jeśli się nie mylę.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 mar 2011, o 11:51

Czy każda macierz ma macierz odwrotną?

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 13 mar 2011, o 11:57

Macierz Z ma macierz odwrotną jeśli \(\displaystyle{ detZ \neq 0}\), ale tutaj w zadaniu \(\displaystyle{ detA=detB \neq 0}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 mar 2011, o 12:03

Ogolnie mnożenie macierzy jest łączne. WIęc w tym szczegolnym przypadku zasada dowodzenia jest taka sama

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 13 mar 2011, o 12:07

Czyli
1. łączność jest
2. element neutralny macierz jednostkowa
3. macierz odwrotna jest , dla macierzy o wyznaczniku różnym od zera

Czy tyle należało pokazać w tym zadaniu by pokazać , że jest to grupa?

Tutaj nie będzie macierzy o wyznaczniku = 0

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 20 mar 2011, o 15:58

Do waszej definicji grupy dopiszcie sobie, że jest w niej określone działanie mnożenia (albo dodawania, jeśli ma być addytywna). Jakoś nie widzę, żeby ktoś pomyślał o tym, żeby to sprawdzić. Oczywiście każde takie macierze można pomnożyć, ale nie jest oczywiste, dlaczego wynik też jest postaci \(\displaystyle{ A^{k} \cdot B^{l}}\).

Ponieważ w zadaniu mamy podzbiór pewnej grupy, to wystarczy sprawdzić dwa warunki:

czy zbiór jest zamknięty na mnożenie
czy zbiór jest zamknięty na branie elementu odwrotnego

W przypadku tego zadania można nawet wypisać całą tabliczkę mnożenia, bo to będzie grupa ośmioelementowa, jeśli się nie pomyliłem.