Macierz w wykładniku

[radzio515]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ e^{At}}\) jeśli
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{rrr}0&1\\-3&-4\end{array}\right]}\)

usunięto link

Ale nie wiem jak policzyć nadal macierz Jordana

[norwimaj]

Dla tej macierzy to chyba proste. Widać, że jak dodamy \(\displaystyle{ 1}\) do przekątnej, to mamy macierz osobliwą, zerującą się na wektorze \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}\phantom-1\\-1\end{array}\right)}\). Ślad macierzy jest \(\displaystyle{ -4}\), więc drugą wartością własną jest \(\displaystyle{ -3}\). I rzeczywiście, jak dodamy \(\displaystyle{ 3}\) do przekątnej, to mamy macierz zerującą się na \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}\phantom-1\\-3\end{array}\right)}\).
Mamy więc
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}\phantom-0&\phantom-1\\-3&-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\phantom-1&\phantom-1\\-1&-3\end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}-1&\phantom-0\\\phantom-0&-3\end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}\phantom-1&\phantom-1\\-1&-3\end{array}\right)^{-1}}\).