Algebra liniowa kilka zadan

[marcin100005]

Mógłby mi ktos rozwiązać te zadania byłbym bardzo wdzięczny, gdyż kompletnie nie wiem jak się za to zabrac...

1. Wyznaczyc wektorowe rozwiazanie parametryczne ukladu rownan jednorodnych i okresli baze B oraz wymiar n podprzestrzeni V ⊂ \(\displaystyle{ R^{4}}\)
⎧ 3x−2y−z−t=0
⎩ x−y+z+2t=0

2. Wyznacz rachunkiem wspolrzedne wektora w=3+4x+\(\displaystyle{ x^{2}}\) w bazie b= {1+x+x2, 2+3x, −1+x+2\(\displaystyle{ x^{2}}\)} przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R _{2}}\) [x]

3. Rownolegloscian rozpiety jest przez wektory: W1=[0,5,5] W2=[−1,3,0] W3= [1,5,6]
oblicz objetosc V tej bryly (W1,W2,W3)
oblicz pole powierzchni sciany rozpietej przez wektory W1 i W2

4. Wyznacz baze ortogonalna \(\displaystyle{ B _{2}}\) = {\(\displaystyle{ W _{1}}\), \(\displaystyle{ W _{3}}\), \(\displaystyle{ W _{3}}\)} znajac baze: \(\displaystyle{ B _{2}}\)={\(\displaystyle{ b _{1}}\) − \(\displaystyle{ e _{1}}\) − \(\displaystyle{ e _{3}}\), \(\displaystyle{ b _{2}}\) − \(\displaystyle{ e _{2}}\) + \(\displaystyle{ e _{3}}\), \(\displaystyle{ b _{3}}\) − \(\displaystyle{ e _{1}}\) − \(\displaystyle{ e _{2}}\) } ⊂ \(\displaystyle{ R^{3}}\) (przy standardowym iloczynie skalarnym)

[sebnorth]

Pierwsze idzie tak:

Dany układ ma rozwiązanie co widać biorąc minor

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}3&-2\\ 1& -1\end{array}\right| = -1 \neq 0}\)

Zatem rzędy macierzy współczynników i macierzy rozszerzonej są równe i wspólny rząd \(\displaystyle{ r =2}\).

Liczba parametrów \(\displaystyle{ p = n - r = 4 - 2 =2}\)

Parametrami będą teraz: z,t. Przenosimy parametry na drugą stronę.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2y=z+t\\ x-y=-z-2t=0 \end{cases}}\)

rozwiązujemy ten układ "2 na 2"

Dostajemy:

\(\displaystyle{ y = 4z + 7t, z = 3z + 5t, z,t \in \mathbb{R}}\) (zakładam, że rozwiązujemy układ w ciele liczb rzeczywistych)

Zapiszmy rozwiązanie w postaci wektorowej:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3z + 5t \\ 4z + 7t \\ z \\ t \end{array}\right] = z \cdot \left[\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] + t \cdot \left[\begin{array}{c}5 \\ 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], z,t \in \mathbb{R}}\)

Z tego widać, że bazą będzie ciąg wektorów \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] , \left[\begin{array}{c}5 \\ 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]}\)

Wymiar więc wynosi \(\displaystyle{ 2}\)