1. Znaleźć wzór jednokładności o skali \(\displaystyle{ 2}\) i środku \(\displaystyle{ (1, 2, 3)}\).
Czy mogę tutaj zastosować definicje \(\displaystyle{ SX' = kSX}\) ?
2. Znaleźć wzór obrotu względem osi OY o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) (nie używając gotowego wzoru)
3. Znaleźć wzór rzutu na płaszczyznę \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) wzdłuż wektora \(\displaystyle{ (-3, 4, 7)}\)
Będę bardzo wdzięczny za każdą pomoc.
Jednokladność, obrót i rzut
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Jednokladność, obrót i rzut
1. Nieco wygodniej jest zastosować wzór:
\(\displaystyle{ X\mapsto S+k(X-S)}\),
czyli jeśli \(\displaystyle{ S=(s_1,s_2,s_3)}\), to
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)\mapsto (s_1,s_1,s_1)+k(x_1-s_1,x_2-s_2,x_3-s_3)=\\=(kx_1+(1-k)s_1,kx_2+(1-k)s_2,kx_3+(1-k)s_3)}\)
Zatem w danym przypadku szukany wzór to:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)\mapsto(2x_1-1,2_x_2-2,2x_3-3)}\).
2. Zawężając uwagę do płaszczyzny \(\displaystyle{ XZ}\) przyjmując jedną z dwóch możliwych konwencji orientowania obrotów:
\(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto (-z,y,x)}\) (*)
Wzór bierze się stąd, że jeśli na moment zapomnimy o drugiej współrzędnej, to zagadnienie sprowadza się do znalezienia wektora prostopadłego do \(\displaystyle{ (x,z)}\) mającego tę samą, co on długość, czyli \(\displaystyle{ (-x,z)}\) lub \(\displaystyle{ (x,-z)}\) co z kolei jest konsekwencją podstawowych własności iloczynu skalarnego. Alternatywny sposób to znalezienie obrazów:
\(\displaystyle{ (1,0,0)\mapsto (0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,1,0)\mapsto (0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,0,1)\mapsto (-1,0,0)}\)
i rozszerzenie liniowo do wzoru (*)
3. Można tak postępować. Szukamy obrazu punktu \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Wystarczy znaleźć takie \(\displaystyle{ r}\), że punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)+r(-3,4,7)}\) należy do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), czyli takie \(\displaystyle{ r}\), że \(\displaystyle{ x+y+z+8r=0}\). Stąd \(\displaystyle{ r=-\frac{x+y+z}{8}}\) i wobec tego szukay wzór to:
\(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto(x,y,z)-\frac{x+y+z}8(-3,4,7)=\\=\frac 18(11x+3y+3z,-4x+4y-4z,-7x,-7y+z)=\\=\left(\frac{11}8x+\frac 38y+\frac 38z,-\frac 12x+\frac 12y-\frac 12z,-\frac 78x,-\frac 78y+z\right)}\)
\(\displaystyle{ X\mapsto S+k(X-S)}\),
czyli jeśli \(\displaystyle{ S=(s_1,s_2,s_3)}\), to
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)\mapsto (s_1,s_1,s_1)+k(x_1-s_1,x_2-s_2,x_3-s_3)=\\=(kx_1+(1-k)s_1,kx_2+(1-k)s_2,kx_3+(1-k)s_3)}\)
Zatem w danym przypadku szukany wzór to:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)\mapsto(2x_1-1,2_x_2-2,2x_3-3)}\).
2. Zawężając uwagę do płaszczyzny \(\displaystyle{ XZ}\) przyjmując jedną z dwóch możliwych konwencji orientowania obrotów:
\(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto (-z,y,x)}\) (*)
Wzór bierze się stąd, że jeśli na moment zapomnimy o drugiej współrzędnej, to zagadnienie sprowadza się do znalezienia wektora prostopadłego do \(\displaystyle{ (x,z)}\) mającego tę samą, co on długość, czyli \(\displaystyle{ (-x,z)}\) lub \(\displaystyle{ (x,-z)}\) co z kolei jest konsekwencją podstawowych własności iloczynu skalarnego. Alternatywny sposób to znalezienie obrazów:
\(\displaystyle{ (1,0,0)\mapsto (0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,1,0)\mapsto (0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,0,1)\mapsto (-1,0,0)}\)
i rozszerzenie liniowo do wzoru (*)
3. Można tak postępować. Szukamy obrazu punktu \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Wystarczy znaleźć takie \(\displaystyle{ r}\), że punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)+r(-3,4,7)}\) należy do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), czyli takie \(\displaystyle{ r}\), że \(\displaystyle{ x+y+z+8r=0}\). Stąd \(\displaystyle{ r=-\frac{x+y+z}{8}}\) i wobec tego szukay wzór to:
\(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto(x,y,z)-\frac{x+y+z}8(-3,4,7)=\\=\frac 18(11x+3y+3z,-4x+4y-4z,-7x,-7y+z)=\\=\left(\frac{11}8x+\frac 38y+\frac 38z,-\frac 12x+\frac 12y-\frac 12z,-\frac 78x,-\frac 78y+z\right)}\)