przekształcenie liniowe i lnz układu wielomianów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

przekształcenie liniowe i lnz układu wielomianów

Post autor: kieubass »

(a) Sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}[x]_3 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) dana wzorem
\(\displaystyle{ \varphi(f) = (f(0) - f(1), f(0)f(1))}\) dla \(\displaystyle{ f \in \mathbb{R}[x]_3}\)
jest przekształceniem liniowym.
(b) Sprawdzić, czy układ wielomianów
\(\displaystyle{ (1, t^{2} - t^{3}, t^{3} - 1, t^{2})}\)
w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}[t]_3}\) jest liniowo niezależny.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

przekształcenie liniowe i lnz układu wielomianów

Post autor: Lorek »

1. Patrząc na wzór przekształcenia nie wydaje się ono liniowe, więc można spróbować poszukać kontrprzykładu.
2. Aby były liniowo niezależne to musi zachodzić warunek
\(\displaystyle{ \alpha\cdot 1+\beta(t^2-t^3)+\gamma(t^3-1)+\delta\cdot t^2=0\iff \alpha=\beta=\gamma=\delta=0}\)
choć tu już na oko widać, że nie zachodzi.
ODPOWIEDZ