(a) Sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}[x]_3 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) dana wzorem
\(\displaystyle{ \varphi(f) = (f(0) - f(1), f(0)f(1))}\) dla \(\displaystyle{ f \in \mathbb{R}[x]_3}\)
jest przekształceniem liniowym.
(b) Sprawdzić, czy układ wielomianów
\(\displaystyle{ (1, t^{2} - t^{3}, t^{3} - 1, t^{2})}\)
w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}[t]_3}\) jest liniowo niezależny.
przekształcenie liniowe i lnz układu wielomianów
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
przekształcenie liniowe i lnz układu wielomianów
1. Patrząc na wzór przekształcenia nie wydaje się ono liniowe, więc można spróbować poszukać kontrprzykładu.
2. Aby były liniowo niezależne to musi zachodzić warunek
\(\displaystyle{ \alpha\cdot 1+\beta(t^2-t^3)+\gamma(t^3-1)+\delta\cdot t^2=0\iff \alpha=\beta=\gamma=\delta=0}\)
choć tu już na oko widać, że nie zachodzi.
2. Aby były liniowo niezależne to musi zachodzić warunek
\(\displaystyle{ \alpha\cdot 1+\beta(t^2-t^3)+\gamma(t^3-1)+\delta\cdot t^2=0\iff \alpha=\beta=\gamma=\delta=0}\)
choć tu już na oko widać, że nie zachodzi.