liczba rozwiązań w zależności od parametru a

[Intel]

Rozwiązać układ równań liniowych z zależności od parametru a:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+z=a\\2x-z=0\\-x-2y+2z=0 \end{array}}\)
czy powinienem bawić się tutaj metodą Cronecera , bo ja sądzę że nawet się nie da, gdyż

\(\displaystyle{ \det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&1\\2&0&-1\\-1&-2&2\end{array}\right|= 0}\)
\(\displaystyle{ r(A)=2<n}\) zatem nie mogę stosować metody Capellego.?

wynik wychodzi;
1.\(\displaystyle{ a \neq 0}\) \(\displaystyle{ r(A) \neq r(U) \rightarrow}\)sprzeczny układ
2.\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{z}{2} \\y= \frac{3z}{4} \\z \in R \end{array}}\)?

[lukasz1804]

Twoje spostrzeżenie o rzędzie prowadzi do wniosku, że nie jest możliwe, by układ miał dokładnie jedno rozwiązanie. Zatem może on być sprzeczny lub nieoznaczony.
Aby to zbadać, warto zamiast badania rzędu macierzy uzupełnionej posłużyć się klasyczną metodą podstawiania. Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ z=2x}\). Stąd i z równania trzeciego wynika, że \(\displaystyle{ 2y=3x}\). Wstawiając teraz do pierwszego równania \(\displaystyle{ 3x}\) w miejsce \(\displaystyle{ 2y}\) łatwo dostajemy równość \(\displaystyle{ 0=a}\).
Zatem dla \(\displaystyle{ a=0}\) będzie to tożsamość i wtedy układ jest nieoznaczony, zaś dla \(\displaystyle{ a\ne 0}\) otrzymamy sprzeczność.