ortonormalizacja Grama Schmidta

[natalianw]

Niech \(\displaystyle{ H=R^3}\), a iloczyn skalarny jest dany wzorem \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)|(y_1,y_2,y_3)=x_1 \cdot y_1 +x_2 \cdot y_2 +x_3 \cdot y_3}\). Zastosuj ortonormalizacje Grama Schmidta do wektorów \(\displaystyle{ (1,1,1) , (0,0,1), (0,1,1)}\)

[pawels]

Jeden wektor tworzy układ ortogonalny, czyli bierzesz drugi i rzutujesz go na prostą zawierającą pierwszy wektor (wystarczy podstawić do wzoru)- biorąc odpowiednią różnicę otrzymujesz ortogonalny układ dwóch wektorów. Potem rzutujesz trzeci na płaszczyznę rozpięta przez dwa poprzednie (znowu podstawiasz do wzoru), znów różnicę wektora i jego rzutu otrzymując ostatni wektor.
Jeżeli nie pamiętasz wzoru rzutu wektora na podprzestrzeń rozpiętą przez pewną ortogonalną bazę wystarczy spojrzeć do notatek albo Wikipedii.