iloczyn wartosci własnych=wyznacznik macierzy - dowód

Karka · Post autor: **Karka** » 22 lut 2011, o 10:43

Jak udowodnić że iloczyn wartosci własnych macierzy jest rowny jej wyznacznikowi?

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 22 lut 2011, o 11:03

korzystając z tego że macierz A jest podobna do macierzy D( macierz diagonalna składająca się z wartości własnych) wiesz, że ich wyznaczniki są równe, a wyznacznik macierzy D to iloczyn na przekątnej głównej czyli iloczyn wartości własnych

jednak nie wiem czy o taki dowód ci chodziło..

Karka · Post autor: **Karka** » 22 lut 2011, o 11:11

chodzi o to że macierz A jest rowna na przyklad \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]}\). to jest ona podobna do \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\lambda _{1} &0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{array}\right]}\)? Nie moge jakos pojac dlaczego te macierze sa podobne...

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 22 lut 2011, o 11:19

bo istnieje macierz P taka, że:
\(\displaystyle{ A=P^{-1} D P}\)
gdzie macierz P - składa się z wektorów własnych

Karka · Post autor: **Karka** » 22 lut 2011, o 11:32

a skad wiesz ze taka macierz istnieje?