zadanie 1
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \left[ G:H \right] =2}\), to \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą normalną grupy \(\displaystyle{ G}\)
zadanie 2
Wyznaczyć centrum grupy \(\displaystyle{ Z(D(n))}\), gdzie \(\displaystyle{ D(n)}\) - grupa izometrii własnych wielokątów foremnych
grupy i podgrupy
-
- Użytkownik
- Posty: 556
- Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 30 razy
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
grupy i podgrupy
zad 1 jest krótkie, łatwe i przyjemne więc je zrobie, w drugim to trzeba sobie porysować a ja nie będe nic rysował
Niech \(\displaystyle{ x \in G}\) dowolne. Pokażemy, że \(\displaystyle{ xHx^{-1} \subset H}\). Domyślam się że taki warunek na normalność podgrupy mogłeś mieć.
a) \(\displaystyle{ x \in H}\) to koniec bo jak \(\displaystyle{ x=h, h \in H \hbox{ to }, hH=H, Hh^{-1} = H}\)
b) \(\displaystyle{ x \notin H}\). Warstw lewostronych i prawostronnych jest tyle samo i są one rozłączne, w sumie dają G. Lewostronne to:\(\displaystyle{ H, xH}\) a prawostronne to \(\displaystyle{ H, Hx}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ xH = Hx}\). Czyli \(\displaystyle{ xHx^{-1} = H}\).
Niech \(\displaystyle{ x \in G}\) dowolne. Pokażemy, że \(\displaystyle{ xHx^{-1} \subset H}\). Domyślam się że taki warunek na normalność podgrupy mogłeś mieć.
a) \(\displaystyle{ x \in H}\) to koniec bo jak \(\displaystyle{ x=h, h \in H \hbox{ to }, hH=H, Hh^{-1} = H}\)
b) \(\displaystyle{ x \notin H}\). Warstw lewostronych i prawostronnych jest tyle samo i są one rozłączne, w sumie dają G. Lewostronne to:\(\displaystyle{ H, xH}\) a prawostronne to \(\displaystyle{ H, Hx}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ xH = Hx}\). Czyli \(\displaystyle{ xHx^{-1} = H}\).