Odwzorowanie R4 -> R3
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 7 lut 2011, o 17:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: azory
- Podziękował: 3 razy
Odwzorowanie R4 -> R3
Mam problem z zadaniem.
Treść brzmi:
a) Sprawdź, że wektory \(\displaystyle{ e_{1}=(0,0,0,1), e_{2}=(1,2,0,0), e_{3}=(1,2,1,0), e_{4}=(0,1,1,0)}\) można przyjąć za bazę w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\)
b) Znajdź wartość odzworowania liniowego \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}}\) dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ (x,y,z,t)}\) jeśli \(\displaystyle{ f(e_{1})=(1,-1,2),\ f(e_{2})=(-2,2,-4)}\) natomiast \(\displaystyle{ e_{3}\ e_{4} \in ker f}\)
Co do podpkt. a, to sprawdzam liniową niezależność i wychodzi, że wektory są liniowo niezależne, więc można je przyjąć za bazę.
A jeśli chodzi o b, to szczerze powiedziawszy nie wiem jak się za to zabrać.
Mam rozumieć że \(\displaystyle{ e_{3}=(0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ e_{4}=(0,0,0)}\) ?
Zrobiłem tak ; \(\displaystyle{ x(1,-1,2) + y(-2,2,-4) + z(0,0,0) + t(0,0,0)}\) i po przekształceniu wychodzmi mi \(\displaystyle{ (x-2y,\ -x+2y,\ 2x-4y)}\) ale to chyba jeśli miałbym baze kanoniczną, a jeśli mam baze z pkt. a, to nie wiem czy to jest dobrze.
Proszę o pomoc
Treść brzmi:
a) Sprawdź, że wektory \(\displaystyle{ e_{1}=(0,0,0,1), e_{2}=(1,2,0,0), e_{3}=(1,2,1,0), e_{4}=(0,1,1,0)}\) można przyjąć za bazę w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\)
b) Znajdź wartość odzworowania liniowego \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}}\) dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ (x,y,z,t)}\) jeśli \(\displaystyle{ f(e_{1})=(1,-1,2),\ f(e_{2})=(-2,2,-4)}\) natomiast \(\displaystyle{ e_{3}\ e_{4} \in ker f}\)
Co do podpkt. a, to sprawdzam liniową niezależność i wychodzi, że wektory są liniowo niezależne, więc można je przyjąć za bazę.
A jeśli chodzi o b, to szczerze powiedziawszy nie wiem jak się za to zabrać.
Mam rozumieć że \(\displaystyle{ e_{3}=(0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ e_{4}=(0,0,0)}\) ?
Zrobiłem tak ; \(\displaystyle{ x(1,-1,2) + y(-2,2,-4) + z(0,0,0) + t(0,0,0)}\) i po przekształceniu wychodzmi mi \(\displaystyle{ (x-2y,\ -x+2y,\ 2x-4y)}\) ale to chyba jeśli miałbym baze kanoniczną, a jeśli mam baze z pkt. a, to nie wiem czy to jest dobrze.
Proszę o pomoc
- alfgordon
- Użytkownik
- Posty: 2176
- Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 379 razy
Odwzorowanie R4 -> R3
\(\displaystyle{ f(e_{3})=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(e_{4})=(0,0,0)}\)
odwzorowanie masz dane wzorem:
\(\displaystyle{ f(x_1 ,x_2 , x_3 ,x_4 ) = \\
(a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +a_{13} x_{3} +a_{14} x_{4}, \\
a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +a_{23} x_{3} +a_{24} x_{4}, \\
a_{31} x_{1} +a_{32} x_{2} +a_{33} x_{3} +a_{34} x_{4})}\)
teraz pouzupełniaj danymi liczbami i rozwiąż układ równań
za dużo razy skopiowałem, było : \(\displaystyle{ R^4 \rightarrow R^4}\) a ma być:
\(\displaystyle{ R^4 \rightarrow R^3}\)
\(\displaystyle{ f(e_{4})=(0,0,0)}\)
odwzorowanie masz dane wzorem:
\(\displaystyle{ f(x_1 ,x_2 , x_3 ,x_4 ) = \\
(a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +a_{13} x_{3} +a_{14} x_{4}, \\
a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +a_{23} x_{3} +a_{24} x_{4}, \\
a_{31} x_{1} +a_{32} x_{2} +a_{33} x_{3} +a_{34} x_{4})}\)
teraz pouzupełniaj danymi liczbami i rozwiąż układ równań
za dużo razy skopiowałem, było : \(\displaystyle{ R^4 \rightarrow R^4}\) a ma być:
\(\displaystyle{ R^4 \rightarrow R^3}\)
Ostatnio zmieniony 20 lut 2011, o 22:11 przez alfgordon, łącznie zmieniany 1 raz.
- alfgordon
- Użytkownik
- Posty: 2176
- Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 379 razy
Odwzorowanie R4 -> R3
no to zacznę:
\(\displaystyle{ f(0,0,0,1)=(1,-1,2) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{14} =1 \\ a_{24} =-1 \\ a_{34} =2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(0,0,0,1)=(1,-1,2) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{14} =1 \\ a_{24} =-1 \\ a_{34} =2 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 7 lut 2011, o 17:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: azory
- Podziękował: 3 razy
Odwzorowanie R4 -> R3
\(\displaystyle{ f(1,2,0,0)=(-2,2,-4) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{13} =-2 \\ a_{23} =2 \\ a_{33} =-4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(1,2,1,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{12} =0 \\ a_{22} =0 \\ a_{32} =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,1,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{11} =0 \\ a_{21} =0 \\ a_{31} =0 \end{cases}}\)
więc:
\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(-2z+t,2z-t,-4z+2t)}\)
tak?
\(\displaystyle{ f(1,2,1,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{12} =0 \\ a_{22} =0 \\ a_{32} =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,1,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{11} =0 \\ a_{21} =0 \\ a_{31} =0 \end{cases}}\)
więc:
\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(-2z+t,2z-t,-4z+2t)}\)
tak?
- alfgordon
- Użytkownik
- Posty: 2176
- Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 379 razy
Odwzorowanie R4 -> R3
no raczej nie tak....
\(\displaystyle{ f(1,2,0,0)=(-2,2,-4) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{11} +2 a_{12} =-2 \\ a_{21} +2 a_{22} =2 \\ a_{31} +2 a_{32} =-4 \end{cases}}\)
podstawiasz tylko do wzoru...
\(\displaystyle{ f(1,2,0,0)=(-2,2,-4) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{11} +2 a_{12} =-2 \\ a_{21} +2 a_{22} =2 \\ a_{31} +2 a_{32} =-4 \end{cases}}\)
podstawiasz tylko do wzoru...