problem z wzorami :/
-
Marley
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 6 lis 2006, o 19:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Knurów
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 1 raz
problem z wzorami :/
witam wszystkich. Moim kolejnym problemem jest rozwiązywanie układu równań liniowych metodą Gaussa oraz wzroy Laplace'a nie rozumię jak się to rozwiązuje jeśli ktoś mógłby mito wytłumaczyć np. na jakimś przykładzie będę z góry wdzięczny i dam +++ za pomoc
-
aikon
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 48 razy
problem z wzorami :/
Napiszę Ci tu taki prosty przykładzik ilustrujący eliminację Gaussa.
Powiedzmy, że masz taki układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\2x-3y+5z=-5\\-x+2y-z=2\end{array}}\)
Zapisujesz w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&-3&5\\-1&2&-1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-5\\2\end{array}\right]}\)
Na końcu powinien być nawias kwadratowy ale się nie pojawia, nie wiem czemu
Eliminacja Gaussa polega na zerowaniu kolejnych kolumn przy pomocy jedynki stojącej na pierwszym miejscu w macierzy, w celu otrzymania macierzy z samymi zerami i jedynkami na przekątnej. Do dyspozycji masz wszystkie przekształcenia elementarne (dodawanie, odejmowanie od siebie wierszy, mnożenie i dzielenie wierszy przez liczbę, zamiana wierszy miejscami itd.). Tutaj na pierwszym miejscu masz już jedynkę, więc w celu wyzerowania całej pierwszej kolumny wystarczy zrobić operację \(\displaystyle{ w_2 = 2w_1}\) (czyli wiersz drugi minus podwojony wiersz pierwszy) oraz \(\displaystyle{ w_3 + w_1}\).
Tutaj zapisałem Ci wszystkie kolejne operacje które należy wykonać, żeby uzyskać jedynki na przekątnej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&-3&5\\-1&2&-1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-5\\2\end{array}\right] \Longrightarrow \frac{w_2-2w_1}{w_3+w_1}\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-5&3\\0&3&0\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-13\\6\end{array}\right] \Longrightarrow w_3 :3 \Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-5&3\\0&1&0\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-13\\2\end{array}\right] \Longrightarrow w_2 \Leftrightarrow w_3 \Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&0\\0&-5&3\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\2\\-13\end{array}\right] \Longrightarrow \frac{w_1-w_2}{w_3+5w_1}\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\right|\begin{array}{ccc}2\\2\\-3\end{array}\right] \Longrightarrow w_3 : 3\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}2\\2\\-1\end{array}\right] \Longrightarrow w_1 - w_3\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}3\\2\\-1\end{array}\right]}\)
Uzyskałem tutaj jedynki na przekątnej, stąd:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=2\\z=-1\end{array}}\)
Metoda Laplace'a polega na rozwijaniu wyznacznika względem któregoś wiersza lub kolumny, zazwyczaj względem tych z największą ilością zer.
Weźmy taki wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&2&0&2\\0&0&1&0\\0&0&3&0\\-1&3&1&0\end{array}\right|}\)
Żeby lepiej zilustrować metodę, rozwinę ten wyznacznik względem pierwszego wiersza.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&2&0&2\\0&0&1&0\\0&0&3&0\\-1&3&1&0\end{array}\right| = 1 \cdot (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&3&0\\3&1&0\end{array}\right| + 2 \cdot (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&3&0\\-1&1&0\end{array}\right| + 0 \cdot (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\-1&3&0\end{array}\right| + 2 \cdot (-1)^{1+4} \left|\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&3\\-1&3&1\end{array}\right|}\)
A teraz Ci powiem o co w tym chodzi
Rozwijając względem pierwszego wiersza, zapisuję element stojący na pierwszym miejscu (czyli w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie), mnożę przez -1 podniesione do potęgi 1+1 (bo właśnie pierwszy wiersz i pierwsza kolumna) i mnożę przez wyznacznik powstały z wykreślenia pierwszego wiersza i pierwszej kolumny z głównego wyznacznika. Następnie dodaję do tego 2 (element stojący w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie), pomnożony przez -1 do potęgi 1+2 (bo pierwszy wiersz i druga kolumna), pomnożone przez wyznacznik powstały przez wykreślenie pierwszego wiersza i drugiej kolumny... i tak dalej z kolejnymi elementami wiersza, czyli 0 oraz 2. Zauważ, że warto rozwijać względem wiersza lub kolumny z największą ilością zer, bo wtedy Ci się dużo rzeczy poskraca.
Powiedzmy, że masz taki układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\2x-3y+5z=-5\\-x+2y-z=2\end{array}}\)
Zapisujesz w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&-3&5\\-1&2&-1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-5\\2\end{array}\right]}\)
Na końcu powinien być nawias kwadratowy ale się nie pojawia, nie wiem czemu
Eliminacja Gaussa polega na zerowaniu kolejnych kolumn przy pomocy jedynki stojącej na pierwszym miejscu w macierzy, w celu otrzymania macierzy z samymi zerami i jedynkami na przekątnej. Do dyspozycji masz wszystkie przekształcenia elementarne (dodawanie, odejmowanie od siebie wierszy, mnożenie i dzielenie wierszy przez liczbę, zamiana wierszy miejscami itd.). Tutaj na pierwszym miejscu masz już jedynkę, więc w celu wyzerowania całej pierwszej kolumny wystarczy zrobić operację \(\displaystyle{ w_2 = 2w_1}\) (czyli wiersz drugi minus podwojony wiersz pierwszy) oraz \(\displaystyle{ w_3 + w_1}\).
Tutaj zapisałem Ci wszystkie kolejne operacje które należy wykonać, żeby uzyskać jedynki na przekątnej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&-3&5\\-1&2&-1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-5\\2\end{array}\right] \Longrightarrow \frac{w_2-2w_1}{w_3+w_1}\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-5&3\\0&3&0\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-13\\6\end{array}\right] \Longrightarrow w_3 :3 \Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-5&3\\0&1&0\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\-13\\2\end{array}\right] \Longrightarrow w_2 \Leftrightarrow w_3 \Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&0\\0&-5&3\end{array}\right|\begin{array}{ccc}4\\2\\-13\end{array}\right] \Longrightarrow \frac{w_1-w_2}{w_3+5w_1}\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\right|\begin{array}{ccc}2\\2\\-3\end{array}\right] \Longrightarrow w_3 : 3\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}2\\2\\-1\end{array}\right] \Longrightarrow w_1 - w_3\Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\begin{array}{ccc}3\\2\\-1\end{array}\right]}\)
Uzyskałem tutaj jedynki na przekątnej, stąd:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=2\\z=-1\end{array}}\)
Metoda Laplace'a polega na rozwijaniu wyznacznika względem któregoś wiersza lub kolumny, zazwyczaj względem tych z największą ilością zer.
Weźmy taki wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&2&0&2\\0&0&1&0\\0&0&3&0\\-1&3&1&0\end{array}\right|}\)
Żeby lepiej zilustrować metodę, rozwinę ten wyznacznik względem pierwszego wiersza.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&2&0&2\\0&0&1&0\\0&0&3&0\\-1&3&1&0\end{array}\right| = 1 \cdot (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&3&0\\3&1&0\end{array}\right| + 2 \cdot (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&3&0\\-1&1&0\end{array}\right| + 0 \cdot (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\-1&3&0\end{array}\right| + 2 \cdot (-1)^{1+4} \left|\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&3\\-1&3&1\end{array}\right|}\)
A teraz Ci powiem o co w tym chodzi
Rozwijając względem pierwszego wiersza, zapisuję element stojący na pierwszym miejscu (czyli w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie), mnożę przez -1 podniesione do potęgi 1+1 (bo właśnie pierwszy wiersz i pierwsza kolumna) i mnożę przez wyznacznik powstały z wykreślenia pierwszego wiersza i pierwszej kolumny z głównego wyznacznika. Następnie dodaję do tego 2 (element stojący w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie), pomnożony przez -1 do potęgi 1+2 (bo pierwszy wiersz i druga kolumna), pomnożone przez wyznacznik powstały przez wykreślenie pierwszego wiersza i drugiej kolumny... i tak dalej z kolejnymi elementami wiersza, czyli 0 oraz 2. Zauważ, że warto rozwijać względem wiersza lub kolumny z największą ilością zer, bo wtedy Ci się dużo rzeczy poskraca.