Współrzędne wektorów w bazie.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Krzywusek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 lut 2011, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Krzywusek »

Treść zadania:
Wyznacz wymiar powłoki liniowej rozpiętej przez wektory a,b,c. Wybierz jej wektory bazowe oraz oblicz współrzędne wektorów a,b,c w tej bazie.
\(\displaystyle{ a=[2&, 1&, -3], b=[1&, 2&, -3], c=[4&, -1&, -3]}\)

Wymiar według moich obliczeń wynosi: \(\displaystyle{ R=2}\)

Wektory bazowe to: \(\displaystyle{ (\vec{a}, \vec{b})}\)

Ale nie umiem obliczyć współrzędnych wektorów a, b, c w tej bazie. Ktoś pomoże?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Lorek »

Jak przyjąłeś za wektory bazowe \(\displaystyle{ \{\vec{a},\vec{b}\}}\) to teraz każdy z wektorów musisz zapisać jako ich kombinację \(\displaystyle{ \vec{v}=\alpha \vec{a}+\beta\vec{b}}\) a dokładniej to znaleźć współczynniki \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), wtedy wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ \vec{v}=[\alpha_{\vec{a}},\beta_{\vec{b}} ]}\). W przypadku \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b}}\) sprawa jest oczywista, jedynie z \(\displaystyle{ \vec{c}}\) będzie trochę roboty.
Krzywusek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 lut 2011, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Krzywusek »

A mógłbyś mi pokazać to na jakimś prostym przykładzie lub do takowego odesłać, bo patrząc na samą teorię nie dużo rozumiem.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Lorek »

No na przykład szukamy współrzędnych wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\). Szukamy więc takich \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\), że
\(\displaystyle{ \vec{a}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\\ {[2,1,-3]}=\alpha[2,1,-3]+\beta[1,2,-3]\\\begin{cases}2\alpha+\beta=2\\\alpha+2\beta=1\\-3\alpha-3\beta=-3\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\alpha=1\\\beta=0\end{cases}}\)
czyli \(\displaystyle{ \vec{a}=1\cdot \vec{a}+0\cdot \vec{b}=[1_{\vec{a}},0_{\vec{b}} ]}\)
W tym przypadku w zasadzie to było oczywiste i można od razu było zapisać wynik, no ale tym sposobem wyznaczy się współrzędne każdego wektora.
Krzywusek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 lut 2011, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Krzywusek »

Czyli jak dobrze myślę, \(\displaystyle{ \vec{b}= 0\cdot\vec{a}+1\cdot\vec{b}=[0_{\vec{a}},1_{\vec{b}}]}\)?

Natomiast co mam zrobić z \(\displaystyle{ \vec{c}}\)? Jak go zapisać kombinacją?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Lorek »

Tak dobrze myślisz, a co do \(\displaystyle{ \vec{c}}\) to musisz rozwiązać podobny do powyższego układ.
Krzywusek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 lut 2011, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Krzywusek »

Czyli że \(\displaystyle{ \vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}}\)?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Lorek »

No ale \(\displaystyle{ \vec{c}}\) nie masz w bazie, więc go nie będzie po prawej stronie.
Krzywusek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 lut 2011, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Krzywusek »

Czyli ostatecznie \(\displaystyle{ \vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}}\)?

Więc \(\displaystyle{ \vec{c}=3\cdot\vec{a}-2\cdot\vec{b}=[3_{\vec{a}},-2_{\vec{b}}]}\).
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Współrzędne wektorów w bazie.

Post autor: Lorek »

Ta, jest ok.
ODPOWIEDZ