Mam takie zadanie:
Znajdź rzeczywistą macierz ortogonalną P, aby macierz
\(\displaystyle{ P ^{T} \left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right] P}\)
była diagonalna.
Mam napisane rozwiązanie tego zadania, ale nie mogę zrozumieć tego w sensie "teoretycznym".
Najpierw mam policzone wartości i wektory własne, a później, nie wiem skąd, pojawia się wzór na funkcjonał dwuliniowy, bazy...
Pomoże ktoś?
Oblicz macierz P...
Oblicz macierz P...
Wartości własne : -2, 1.
Wektory własne należą do:
\(\displaystyle{ lin\left( \left[ -1, 1, 0\right],\left[-1, 0, 1 \right] \right) \ lin\left( \left[ 1,1,1\right] \right)}\)
Następnie pojawia się
\(\displaystyle{ \xi\left( \left[ x,y,z\right],\left[ x',y',z'\right] \right)=xx'+yy'+zz'}\)
i to właśnie nie wiem dlaczego.
Później wektory własne tworzą bazę, to rozumiem.
Kolejne kroki - \(\displaystyle{ \beta _{1} , \beta _{2}}\) tworzą bazę prostopadłą U, a \(\displaystyle{ \gamma _{1}, \gamma _{2}, \gamma _{3}}\) unormowaną. I te wektory gamma tworzą macierz P...
Problemem jest to - czy te bazy, wzór analityczny biorą się z twierdzeń? Bo to już kolejne takie zadanie, jakie widzę, a niestety nigdzie nie mam komentarza żadnego...
Wektory własne należą do:
\(\displaystyle{ lin\left( \left[ -1, 1, 0\right],\left[-1, 0, 1 \right] \right) \ lin\left( \left[ 1,1,1\right] \right)}\)
Następnie pojawia się
\(\displaystyle{ \xi\left( \left[ x,y,z\right],\left[ x',y',z'\right] \right)=xx'+yy'+zz'}\)
i to właśnie nie wiem dlaczego.
Później wektory własne tworzą bazę, to rozumiem.
Kolejne kroki - \(\displaystyle{ \beta _{1} , \beta _{2}}\) tworzą bazę prostopadłą U, a \(\displaystyle{ \gamma _{1}, \gamma _{2}, \gamma _{3}}\) unormowaną. I te wektory gamma tworzą macierz P...
Problemem jest to - czy te bazy, wzór analityczny biorą się z twierdzeń? Bo to już kolejne takie zadanie, jakie widzę, a niestety nigdzie nie mam komentarza żadnego...