wyznacznik macierzy (z gwiazdką)

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

wyznacznik macierzy (z gwiazdką)

Post autor: darek20 »

Niech \(\displaystyle{ a_i >0, i=1,2,...,n}\) takie że \(\displaystyle{ \sum a_i = 1}\) Pokaż że
\(\displaystyle{ \left | \begin {array}{cccccccc} \frac{1+a_1}{a_1} & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \frac{1+a_2}{a_2} & 1 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & \frac{1+a_n}{a_n} \endarray \right | \geq 2 \left ( \sqrt [n]{\prod (a_i + 1)} - 1 \right )^n .}\)
Ostatnio zmieniony 19 lut 2011, o 15:17 przez darek20, łącznie zmieniany 1 raz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

wyznacznik macierzy (z gwiazdką)

Post autor: »

Na pewno jest dobrze przepisane? W tej wersji podane szacowanie jest bardzo mocno nieoptymalne (wystarczy sprawdzić np. dla \(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=\frac 13}\)).

Q.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

wyznacznik macierzy (z gwiazdką)

Post autor: darek20 »

Tresc jest przepisana dobrze
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

wyznacznik macierzy (z gwiazdką)

Post autor: »

No to odejmijmy pierwszy wiersz od wszystkich pozostałych:
\(\displaystyle{ \left | \begin {array}{cccccccc} \frac{1+a_1}{a_1} & 1 & 1 & ... & 1 \\ -\frac{1}{a_1} & \frac{1}{a_2} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ -\frac{1}{a_1} & 0 & 0 & ... & \frac{1}{a_n} \end{array} \right |}\)
a teraz dodajmy do pierwszej kolumny \(\displaystyle{ j}\)-tą kolumnę pomnożoną przez \(\displaystyle{ \frac{a_j}{a_1}}\):
\(\displaystyle{ \left | \begin {array}{cccccccc} \frac{1+\sum a_i}{a_1} & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & \frac{1}{a_2} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & \frac{1}{a_n} \end{array} \right |}\)
czyli z uwagi na założenie:
\(\displaystyle{ \left | \begin {array}{cccccccc} \frac{2}{a_1} & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & \frac{1}{a_2} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & \frac{1}{a_n} \end{array} \right |}\)
więc ten wyznacznik jest równy:
\(\displaystyle{ \frac{2}{\prod a_i}}\)

Nierówność którą mamy udowodnić po prostych przekształceniach przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \left ( \sqrt [n]{\prod (a_i + 1)} - 1 \right )^n \cdot \prod a_i\le 1}\)
Z nierówności między średnimi dostajemy:
\(\displaystyle{ L\le \left( \frac{\sum (a_i +1)}{n} -1\right) ^n \cdot \left( \frac{\sum a_i}{n} \right)^n =
\left( \frac{n+1}{n} -1\right) ^n \cdot \left( \frac{1}{n} \right)^n =\left( \frac{1}{n}\right) ^{2n}\le 1=P}\)


Jak widać ostatnie szacowanie jest strasznie grube, więc na pewno da się zmodyfikować treść tak, żeby zadanie było ciekawsze.

Q.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

wyznacznik macierzy (z gwiazdką)

Post autor: darek20 »

dzieki taka wersja mnie zadowala a jesli chcesz to mozesz zmodyfikowac
ODPOWIEDZ