Mamy dane:
\(\displaystyle{ \varphi : V \rightarrow W}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{r+1},\alpha _{r+2},...,\alpha _{n}}\) - baza \(\displaystyle{ ker(\varphi)}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}}\) - dowolny układ wektorów
\(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r},\alpha _{r+1},\alpha _{r+2},...,\alpha _{n}}\) - baza \(\displaystyle{ V}\)
Za zadanie mam udowodnić, że układ wektorów \(\displaystyle{ \varphi(\alpha_{1}),...,\varphi(\alpha_{r})}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ im(\varphi)}\)
Ktoś ma pomysł jak to zrobić ?
nietrudny dowód na przekształceniach liniowych
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
nietrudny dowód na przekształceniach liniowych
Skoro ten układ jest bazą, to na pewno \(\displaystyle{ \varphi(\alpha_{1}),\ldots ,\varphi(\alpha_{n})}\) rozpina obraz naszego przekształcenia. A ponieważ \(\displaystyle{ \varphi(\alpha _{r+1})= \ldots =\varphi(\alpha _{n})=\vec{0}}\), więc układ \(\displaystyle{ \varphi(\alpha_{1}),\ldots ,\varphi(\alpha_{r})}\) rozpina rzeczony obraz.
By wykazać, że jest bazą, należy udowodnić, że jest też liniowo niezależny. Wskazówka: spróbuj założyć, że jest liniowo zależny i doprowadzić to założenie do sprzeczności (wykorzystując liniowość przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\)).
Q.
By wykazać, że jest bazą, należy udowodnić, że jest też liniowo niezależny. Wskazówka: spróbuj założyć, że jest liniowo zależny i doprowadzić to założenie do sprzeczności (wykorzystując liniowość przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\)).
Q.