nietrudny dowód na przekształceniach liniowych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
maciej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 4 lis 2010, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

nietrudny dowód na przekształceniach liniowych

Post autor: maciej91 »

Mamy dane:

\(\displaystyle{ \varphi : V \rightarrow W}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{r+1},\alpha _{r+2},...,\alpha _{n}}\) - baza \(\displaystyle{ ker(\varphi)}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}}\) - dowolny układ wektorów

\(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r},\alpha _{r+1},\alpha _{r+2},...,\alpha _{n}}\) - baza \(\displaystyle{ V}\)

Za zadanie mam udowodnić, że układ wektorów \(\displaystyle{ \varphi(\alpha_{1}),...,\varphi(\alpha_{r})}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ im(\varphi)}\)

Ktoś ma pomysł jak to zrobić ?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

nietrudny dowód na przekształceniach liniowych

Post autor: »

Skoro ten układ jest bazą, to na pewno \(\displaystyle{ \varphi(\alpha_{1}),\ldots ,\varphi(\alpha_{n})}\) rozpina obraz naszego przekształcenia. A ponieważ \(\displaystyle{ \varphi(\alpha _{r+1})= \ldots =\varphi(\alpha _{n})=\vec{0}}\), więc układ \(\displaystyle{ \varphi(\alpha_{1}),\ldots ,\varphi(\alpha_{r})}\) rozpina rzeczony obraz.

By wykazać, że jest bazą, należy udowodnić, że jest też liniowo niezależny. Wskazówka: spróbuj założyć, że jest liniowo zależny i doprowadzić to założenie do sprzeczności (wykorzystując liniowość przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\)).

Q.
maciej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 4 lis 2010, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

nietrudny dowód na przekształceniach liniowych

Post autor: maciej91 »

dzięki !
ODPOWIEDZ