Generowanie bazy

[lukas8zeta]

Witam. Mam wektory:
\(\displaystyle{ z_1=\left( 1,1,-2\right)}\)
\(\displaystyle{ z_2=\left( 3,1,0\right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=\left( -1,2,-1\right)}\)
I mam sprawdzić czy tworzą bazę w \(\displaystyle{ R^{3}}\)
Sprawdziłem liniową niezależność i teraz generowanie bazy i dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\alpha_{1}+3\alpha_{2}=x+z \\ 5\alpha_{1}+\alpha_{2}=y-2z \\ \alpha_{3}= z+2\alpha_{1} \end{cases}}\)

Może mi ktoś krok po kroku pokazać jak te alfy wyliczyć?

[mateuszek89]

Aby sprawdzić czy te wektory tworzą bazę musisz sprawdzić ich liniową niezależność. Możesz więc obliczyć wyznacznik macierzy powstałej z Twoich wektorów wpisanych w kolumny. Jeśli jest różny od \(\displaystyle{ 0}\) to znaczy, że są liniowo niezależne czyli tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).

[Kat_arina]

Jest takie twierdzenie, bardzo przydatne, ze jesli liczba wektorow jest równa wymiarowi przestrzeni to wystarczy sprawdzic tylko jeden z warunkow: albo, ze sa liniowo niezalezne, albo, ze generuja przestrzen. Jesli sprawdziles ze te 3 wektory sa liniowo niezalezne i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) wynosi 3 (a to jest oczywiste, ze tak jest) to nie musisz sparwdzac, czy generuja przestrzen, zeby stwierdzic ze sa baza.

[lukas8zeta]

To, że są liniowo niezależne to już sprawdziłem. Ale Jest jeszcze drugi warunek który nie potrafię do końca wyliczyć. Wiem, że ma powstać coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{2}= \frac{5x+y+3z}{16} \\ \alpha_{1}=- \frac{1}{16}x+ \frac{3}{16}y- \frac{7}{16}z \\ \alpha_{3}=-\frac{1}{8}x+ \frac{3}{8}y+\frac{1}{8}z \end{cases}}\)

Takie mam rozwiązanie tylko nie wiem jak do tego dojść.

[Kat_arina]

Ale nie musisz sprawdzac tego drugiego warunku.
W tym przypadku wystarczy tylko ten jeden - sprawdzic liniowa niezaleznosc. A dlaczego - napisałam wyżej.
Oczywiscie mozesz sprawdzic czy generuja ale to naprawde zbedne.

[lukas8zeta]

No właśnie chcę, tylko powiedz mi jak z tego co napisałem w pierwszym poście dojść do tego co jest w ostatnim?

[Kat_arina]

urfywenrawkkgfddv wszystko mi sie skasowalo.
wiec w przyspieszonym tempie:

wychodze od tego miejsca, w którym utknąłeś

1) mnoze pierwsze równanie przez 5 i dodaję do drugiego
wychodzi mi piekne \(\displaystyle{ \alpha_{2}}\)

teraz pierwsze równanie:

\(\displaystyle{ \alpha_{1} = 3 \alpha _{2}-x-z}\)

podstawiasz za \(\displaystyle{ \alpha_{2}}\) to, co wyliczyles wczesniej i masz \(\displaystyle{ \alpha_{1}}\)

no i 3 równanie - prosciutko.

UFF!