Witam
Oto wektory:
\(\displaystyle{ (1,3,1,0,-1); (1,1,0,1,1); (2,6,2,3,0); (1,1,0,-2,-1)}\)
Aby obliczyć wymiar przestrzeni generowanej przez te wektory wystarczy upchnąć je w macierz i obliczyć rząd tej macierzy ?
Jeśli tak to czy wynik zapisuje się w postaci \(\displaystyle{ dim V}\) ? np. \(\displaystyle{ dim V=3}\) ?
Z góry dzięki za pomoc
-- 17 lut 2011, o 18:46 --
odświeżam i dodaje kolejne pytanie:
Określ wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-3z+t+2u=0\\x-2y+z+3t+u=0\\5x-2y-3z+11t+7u=0\end{cases}}\)
Przed momentem wyczytałem, że wystarczy obliczyć rząd tego układu równań a następnie od liczby zmiennych odjąć wynik rzędu czyli:
liczba zmiennych: \(\displaystyle{ 5}\)
rząd: \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ 5-2=3}\)
Wymiar: \(\displaystyle{ 3}\) ?
Czy to prawda i czy można w ten sposób obliczać wymiar układu ?-- 18 lut 2011, o 21:01 --odświeżam i proszę o jakakolwiek pomoc
Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 17 lut 2011, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: pl
- Podziękował: 2 razy
Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory
Ostatnio zmieniony 17 lut 2011, o 14:10 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 17 lut 2011, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: pl
- Podziękował: 2 razy
Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory
jeśli jednorodny to można n-r=wymiarjak leciało tw. Kroneckera-Capellego?
dzięki xanowron
jeszcze takie pytanie ale dotyczące tego układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=-3z-4t \\ x+4y=-9z-t \\ 2x-4y=6z-14t \end{cases}}\)
1. Mogę przerzucić te wartości z prawej na lewą i obliczyć w ten sam sposób wymiar tzn. n-r ?
2. Jak obliczyć bazę takiego układu ? Nie chodzi mi o gotowe rozwiązanie a raczej o taką sama podpowiedz jak z wymiarem. (No chyba, że łatwiej zrozumieć to na rozwiązanym przykładzie).
z góry dzięki za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory
1. Liczysz normalnie z tw. Kroneckera-Capellego, możesz przerzucić wszystko na jedną stronę
2. Przez bazę układu rozumiesz bazę przestrzeni rozwiązań układu? Zacznij najpierw od wyznaczenia ogólnego rozwiązania układu. Potem pod zmienne wolne podkładasz po kolei pod jedną 1 i pod resztę zera, otrzymasz w ten sposób jedną z baz przestrzeni rozwiązań.
2. Przez bazę układu rozumiesz bazę przestrzeni rozwiązań układu? Zacznij najpierw od wyznaczenia ogólnego rozwiązania układu. Potem pod zmienne wolne podkładasz po kolei pod jedną 1 i pod resztę zera, otrzymasz w ten sposób jedną z baz przestrzeni rozwiązań.
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 17 lut 2011, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: pl
- Podziękował: 2 razy
Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory
Ogolnie treśc zadania do tego układu jest taka:xanowron pisze: 2. Przez bazę układu rozumiesz bazę przestrzeni rozwiązań układu? Zacznij najpierw od wyznaczenia ogólnego rozwiązania układu. Potem pod zmienne wolne podkładasz po kolei pod jedną 1 i pod resztę zera, otrzymasz w ten sposób jedną z baz przestrzeni rozwiązań.
Znależć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań (x,y,z,t) układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=-3z-4t \\ x+4y=-9z-t \\ 2x-4y=6z-14t \end{cases}}\)
a teraz rozwiązanie wg tego co napisałeś (ale pewnie coś jest żle jeśli ja to zrobiłem ):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+3z+4t=0 \\ x+4y+9z+t=0 \\ 2x-4y-6z+14t=0 \end{cases}
rz[A]=rz=2
4-2=2
dimV=2
\begin{cases} x+y+3z+4t=0 \\ x+4y+9z+t=0 \end{cases}
\begin{cases} x+y=-3z-4t \\ x+4y=-9z-t \end{cases}
detA=3
z= \alpha , t= \beta \in R
\begin{cases} x+y=-3 \alpha-4\beta \\ x+4y=-9 \alpha-\beta \end{cases}
detA _{x}=\begin{vmatrix} -3 \alpha-4\beta&1\\-9 \alpha-\beta&4\end{vmatrix}=-3\alpha-15\beta
detA _{y}=\begin{vmatrix} 1&-3 \alpha-4\beta\\1&-9 \alpha-\beta\end{vmatrix}=-6\alpha+3\beta}\)
Co dalej? Po prostu podstawiam za \(\displaystyle{ \alpha=1}\) i zapisuje to wszystko jako (0,0,-3,0) ?
Jeszcze raz wielkie dzięki xanowron