Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
opol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 17 lut 2011, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pl
Podziękował: 2 razy

Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: opol »

Witam

Oto wektory:

\(\displaystyle{ (1,3,1,0,-1); (1,1,0,1,1); (2,6,2,3,0); (1,1,0,-2,-1)}\)

Aby obliczyć wymiar przestrzeni generowanej przez te wektory wystarczy upchnąć je w macierz i obliczyć rząd tej macierzy ?

Jeśli tak to czy wynik zapisuje się w postaci \(\displaystyle{ dim V}\) ? np. \(\displaystyle{ dim V=3}\) ?

Z góry dzięki za pomoc

-- 17 lut 2011, o 18:46 --

odświeżam i dodaje kolejne pytanie:

Określ wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-3z+t+2u=0\\x-2y+z+3t+u=0\\5x-2y-3z+11t+7u=0\end{cases}}\)

Przed momentem wyczytałem, że wystarczy obliczyć rząd tego układu równań a następnie od liczby zmiennych odjąć wynik rzędu czyli:

liczba zmiennych: \(\displaystyle{ 5}\)
rząd: \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ 5-2=3}\)

Wymiar: \(\displaystyle{ 3}\) ?

Czy to prawda i czy można w ten sposób obliczać wymiar układu ?-- 18 lut 2011, o 21:01 --odświeżam i proszę o jakakolwiek pomoc
Ostatnio zmieniony 17 lut 2011, o 14:10 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
opo1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 18 lut 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: uk

Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: opo1 »

odświeżam i proszę o jakąkolwiek pomoc
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: xanowron »

W pierwszym odpowiedź to tak.
Do drugiego, jak leciało tw. Kroneckera-Capellego?
opol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 17 lut 2011, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pl
Podziękował: 2 razy

Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: opol »

jak leciało tw. Kroneckera-Capellego?
jeśli jednorodny to można n-r=wymiar
dzięki xanowron

jeszcze takie pytanie ale dotyczące tego układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=-3z-4t \\ x+4y=-9z-t \\ 2x-4y=6z-14t \end{cases}}\)

1. Mogę przerzucić te wartości z prawej na lewą i obliczyć w ten sam sposób wymiar tzn. n-r ?
2. Jak obliczyć bazę takiego układu ? Nie chodzi mi o gotowe rozwiązanie a raczej o taką sama podpowiedz jak z wymiarem. (No chyba, że łatwiej zrozumieć to na rozwiązanym przykładzie).

z góry dzięki za pomoc
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: xanowron »

1. Liczysz normalnie z tw. Kroneckera-Capellego, możesz przerzucić wszystko na jedną stronę
2. Przez bazę układu rozumiesz bazę przestrzeni rozwiązań układu? Zacznij najpierw od wyznaczenia ogólnego rozwiązania układu. Potem pod zmienne wolne podkładasz po kolei pod jedną 1 i pod resztę zera, otrzymasz w ten sposób jedną z baz przestrzeni rozwiązań.
opol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 17 lut 2011, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pl
Podziękował: 2 razy

Wymiar przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: opol »

xanowron pisze: 2. Przez bazę układu rozumiesz bazę przestrzeni rozwiązań układu? Zacznij najpierw od wyznaczenia ogólnego rozwiązania układu. Potem pod zmienne wolne podkładasz po kolei pod jedną 1 i pod resztę zera, otrzymasz w ten sposób jedną z baz przestrzeni rozwiązań.
Ogolnie treśc zadania do tego układu jest taka:
Znależć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań (x,y,z,t) układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=-3z-4t \\ x+4y=-9z-t \\ 2x-4y=6z-14t \end{cases}}\)

a teraz rozwiązanie wg tego co napisałeś (ale pewnie coś jest żle jeśli ja to zrobiłem ):

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+3z+4t=0 \\ x+4y+9z+t=0 \\ 2x-4y-6z+14t=0 \end{cases}
rz[A]=rz=2


4-2=2

dimV=2


\begin{cases} x+y+3z+4t=0 \\ x+4y+9z+t=0 \end{cases}
\begin{cases} x+y=-3z-4t \\ x+4y=-9z-t \end{cases}


detA=3

z= \alpha , t= \beta \in R


\begin{cases} x+y=-3 \alpha-4\beta \\ x+4y=-9 \alpha-\beta \end{cases}

detA _{x}=\begin{vmatrix} -3 \alpha-4\beta&1\\-9 \alpha-\beta&4\end{vmatrix}=-3\alpha-15\beta

detA _{y}=\begin{vmatrix} 1&-3 \alpha-4\beta\\1&-9 \alpha-\beta\end{vmatrix}=-6\alpha+3\beta
}\)



Co dalej? Po prostu podstawiam za \(\displaystyle{ \alpha=1}\) i zapisuje to wszystko jako (0,0,-3,0) ?

Jeszcze raz wielkie dzięki xanowron
ODPOWIEDZ