Wyznacznik AB=BA

martins · Post autor: **martins** » 16 lut 2011, o 23:08

Zadanie jest takie, znaleśc macierz B spełniającą równanie \(\displaystyle{ AB=0}\) i \(\displaystyle{ BA=0}\)
Zero jest wyznacznikiem macierzy. A macierz A wygląda następująco: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&6\end{array}\right]}\)
Chyba jest na to jakiś wzór ale nie mogłem znaleśc go.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 16 lut 2011, o 23:09

\(\displaystyle{ B}\) podajesz w postaci ogolnej i wstawiasz do swoich dwoch rownan

martins · Post autor: **martins** » 16 lut 2011, o 23:23

Chodzi ci o coś takiego, że \(\displaystyle{ B = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
Próbowałem liczyc w ten sposób i to raczej metoda prób i błędów. Musi byc jakiś wzór na to.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 16 lut 2011, o 23:24

Nie ma. I dlaczego niby teraz \(\displaystyle{ B}\) jest takiej postaci ?

martins · Post autor: **martins** » 16 lut 2011, o 23:27

Miałem to zadanie na egzaminie (egzamin na szczęscie zdany) tylko, że tego akurat nie zrobiłem. Kumpel zrobił to wg. jakiegoś schematu. A macierz B ma byc w takiej postaci a Ja mam znaleśc niewiadome a b c d.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 16 lut 2011, o 23:29

No to w takiej postaci wstaw macierz do swoich dwoch rownan

martins · Post autor: **martins** » 16 lut 2011, o 23:30

A zapomniałem dodac. Ta macierz nie może byc zerowa.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 16 lut 2011, o 23:31

No spoko. Wskazowka pozostaje taka sama

martins · Post autor: **martins** » 16 lut 2011, o 23:48

To tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a+3b&2a+6b\\c+3d&2c+6d\end{array}\right]=(a+3b)(2c+6d)-(2a+6b)(c+3d)=0}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&6\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a+2c&b+2d\\3a+6c&3b+6d\end{array}\right]=(a+2c)(3b+6d)-(b+2d)(3a+6c)=0}\)

mamy teraz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a+2c)(3b+6d)-(b+2d)(3a+6c)=0\\(a+3b)(2c+6d)-(2a+6b)(c+3d)=0\end{cases}}\)

Wszystko się zgadza, bo jeżeli źle robię to nie ma sensu brnąc w to dalej..

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 16 lut 2011, o 23:55

Ale mamy chyba równanie macierzowe? Więc:

\(\displaystyle{ AB=0}\) i \(\displaystyle{ 0}\) jest macierzą zerową, tak?

martins · Post autor: **martins** » 16 lut 2011, o 23:58

Macierz B nie może byc macierzą zerową a wynik też nie jest taką macierzą tylko wyznacznikiem który równa się zeru, muszę znaleśc niewiadome a b c d gdzie najwyżej 3 z nich mogą byc 0

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 17 lut 2011, o 00:01

To zaraz zaraz coś tu nie tak...
Więc ma być:

\(\displaystyle{ AB=0\wedge BA=0}\)

czy też

\(\displaystyle{ \det(AB)=0\wedge \det(BA)=0}\) ?

Chyba jakoś zapisujesz tak dziwnie...

martins · Post autor: **martins** » 17 lut 2011, o 00:03

\(\displaystyle{ \det(AB)=0\wedge \det(BA)=0}\) zero jest skalarem (jako wyznacznik)

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 17 lut 2011, o 00:15

Ok więc teraz już jasne.
Więc jak dla mnie oczywiste jest:

\(\displaystyle{ \det (AB)=\det A\det B=0}\)

oraz

\(\displaystyle{ \det (BA)=\det B\det A=0}\)

i również mamy, że \(\displaystyle{ \det A=0}\),

zatem macierz \(\displaystyle{ B}\) może być macierzą dowolną a w szczególności osobliwą i zerową, aby spełnić zadane równanie.

martins · Post autor: **martins** » 17 lut 2011, o 00:18

Dobra znalazłem, okazuje się, że macierz jednostkowa spełnia takie warunki.