Równość Cauchy'ego

[aid]

Jak pokazać, że zachodzi równość

\(\displaystyle{ ||v||^2 (||v||^2 ||w||^2 - |<v,w>|^2) = ||z||^2}\),

przy czym \(\displaystyle{ ||z|| = ||v||^2 w - <v, w>v}\)?

Oczywiście \(\displaystyle{ v, w \in V}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową ze zdefiniowanym iloczynem skalarnym.

Ukryta treść:    

Jeśli rozpisać prawą stronę, to dostaniemy:

\(\displaystyle{ ||v||^2 ( ||v||^2 ||w||^2 - ||v||^2 <w, v>^2 - ||v||^2 <v, w>^2 + ||v||^2 <v, w> <w, v>)}\),

co zgadza się z lewą stroną równości, o ile pracujemy w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), ale nie trzyma się kupy, jeśli na przykład chodzi o \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)...

[xiikzodz]

Nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) trzeba użyć produktu hermitowskiego, czyli spełniającego warunek:

\(\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}}\).

[aid]

No dobrze, ale wtedy po prawej stronie dostaniemy w najlepszym razie:

\(\displaystyle{ ||v||^2 (||v||^2 ||w||^2 - |\langle{v,w\rangle}|^2 + (\langle{v, w\rangle} - \langle{w, v\rangle})^2)}\),

a to się pokrywa z lewą stroną wyjściowej równości, o ile

\(\displaystyle{ (\langle{v, w\rangle} - \langle{w, v\rangle})^2 = 0}\),

ale czy tak jest zawsze?

[xiikzodz]

Wygląda na to, że ta tożsamość nie działa nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

W ogólności, czyli nad dowolnym ciałem, zachodzi:

\(\displaystyle{ 2(\|v\|^2\|w\|^2-\langle v,w\rangle^2)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_ib_j-a_jb_i)^2}\).