Wektory własne macierzy

[ivnz]

Użyłem google lecz wszędzie jest zapisane to w takiej szybkiej postaci. Co mi niestety nie naświetla sprawy.
Mając macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&0\\3&-2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}\)
Obliczyłem równanie charakterystyczne oraz wartości własne.
\(\displaystyle{ -\lambda^{3}+13\lambda-12}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{0}=1,-4,3}\)
Fajnie sobie podstawiam i następuje zgrzyt. Nie bardzo rozumiem jak nagle pojawia się jakieś k,l czy cokolwiek innego (wektor) i od niego zależne są x,y,z? Mógł by ktoś to krok po kroku wyjaśnić? Był bym bardzo wdzięczny.

[miodzio1988]

Krok po kroku masz w ksiazce.

Najwaziejsze jest to, że rozwiazujesz wtedy rownnie jednorodne. To umiesz?

[ivnz]

Nie bardzo rozumiem. W książce nie pada ani razu takie stwierdzenie.

[miodzio1988]

O widzisz. A tutaj, po wyliczeniu tych wartości własnych, rozwiązujesz , zgodnie z definicją wektora własnego, odpowiedni układ jednorodny.

[ivnz]

Nie bardzo wiedząc ale czegoś się złapałem i wyliczyłem.

szkoda ze zadziałało tylko do tego przypadku

ok szybkie sprawdzenie
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&1&4\\3&3&2\\6&2&10\end{bmatrix}}\)
Dla takiej macierzy wyszła mi wartość własna (m. in.) \(\displaystyle{ \lambda = 2}\)

Podstawiam

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&4\\3&1&2\\6&2&8\end{bmatrix}}\)

Wyszło mi że
\(\displaystyle{ x=2k, y=-8k, z=k}\)
bo
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&4\\3&1&2\\6&2&8\end{bmatrix} W3=W3-2W1 \begin{bmatrix} 3&1&4\\3&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}\)

czyli

\(\displaystyle{ z=k}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}3&1&4\\3&1&2\\0&0&0\end{bmatrix} W1=W1-W2 \begin{bmatrix}0&0&2\\3&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}\)

czyli

\(\displaystyle{ x=2k}\)

Po podstawieniu
\(\displaystyle{ y=-8k}\)

Gdzie popełniam błąd?