witam,
czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak się rozwiązuje układy równań?na przykładzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1-3x_2+3x_3+4x_4=5 \\
2x_1+2x_2+x_3-3x_4=2 \\
x_1-11x_2+8x_3+15x_4=13 \end{cases}}\)
układ równań
układ równań
Ostatnio zmieniony 15 lut 2011, o 12:20 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
układ równań
Hmmm... najprostszą metodą jest eliminacja Gaussa.
Zapisujemy macierz główną układu rozszerzoną o macierz współczynników, czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-3&3&4&|&5 \\
2&2&1&-3&|&2 \\
1&-11&8&15&|&13 \\
\end{matrix}\right]}\)
Teraz za pomocą przekształceń na wierszach:
mnożeniu/dzieleniu całych wierszy przez niezerowe liczby
dodawaniu do danego wiersza innego wiersza, pomnożonego przez niezerową liczbę
zamienianiu wierszy miejscami
staramy się doprowadzić do tego, że w lewej części macierzy pojawi się największa możliwa w danym wypadku macierz jednostkowa (tu będzie to macierz najwyżej \(\displaystyle{ 3 \times 3}\))
Przykładowo:
\(\displaystyle{ w_2^\prime=w_2-2w_1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
1&-11&8&15&|&13 \\
\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_3^\prime=w_3-w_1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
0&-8&5&11&|&8 \\
\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_3^\prime=w_3+w_2}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
0&0&0&0&|&0 \\
\end{matrix}\right]}\)
Udało nam się wyzerować ostatni wiersz. Gdyby wyraz wolny był niezerowy, to w takim wypadku układ byłby sprzeczny. W naszym przypadku wykreślamy ostatni wiersz.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
\end{matrix}\right]}\)
Teraz już szukamy tylko macierzy jednostkowej \(\displaystyle{ 2 \times 2}\):
\(\displaystyle{ w_1^\prime=w_1+\frac{3}{8}w_2}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&0&\frac{9}{8}&-\frac{1}{8}&|&2 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_2^\prime=\frac{w_2}{8}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&0&\frac{9}{8}&-\frac{1}{8}&|&2 \\
0&1&-\frac{5}{8}&-\frac{11}{8}&|&-1 \\
\end{matrix}\right]}\)
Mamy już macierz jednostkową \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Teraz niewiadome, które odpowiadają kolumnom poza tą macierzą jednostkową (czyli trzeciej i czwartej kolumnie) stają się parametrami. Mamy zatem:
\(\displaystyle{ x_1+\frac{9}{8}\alpha-\frac{1}{8}\beta=2}\)
\(\displaystyle{ x_1=2-\frac{9}{8}\alpha+\frac{1}{8}\beta}\)
\(\displaystyle{ x_2-\frac{5}{8}\alpha-\frac{11}{8}\beta=-1}\)
\(\displaystyle{ x_2=-1+\frac{5}{8}\alpha+\frac{11}{8}\beta}\)
\(\displaystyle{ x_3=\alpha}\)
\(\displaystyle{ x_4=\beta}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2\\-1\\0\\0\end{matrix}\right]+\alpha \left[\begin{matrix}-\frac{9}{8}\\\frac{5}{8}\\1\\0\end{matrix}\right]+\beta \left[\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{11}{8}\\0\\1\end{matrix}\right],\alpha,\beta\in\mathbb{R}}\)
(oczywiście, gdybyśmy mieli układ n równań z n niewiadomymi, to być może udałoby się znaleźć macierz jednostkową \(\displaystyle{ n\times n}\) - wtedy nie byłoby żadnych parametrów, układ miałby po prostu jedno rozwiązanie).
Zapisujemy macierz główną układu rozszerzoną o macierz współczynników, czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-3&3&4&|&5 \\
2&2&1&-3&|&2 \\
1&-11&8&15&|&13 \\
\end{matrix}\right]}\)
Teraz za pomocą przekształceń na wierszach:
mnożeniu/dzieleniu całych wierszy przez niezerowe liczby
dodawaniu do danego wiersza innego wiersza, pomnożonego przez niezerową liczbę
zamienianiu wierszy miejscami
staramy się doprowadzić do tego, że w lewej części macierzy pojawi się największa możliwa w danym wypadku macierz jednostkowa (tu będzie to macierz najwyżej \(\displaystyle{ 3 \times 3}\))
Przykładowo:
\(\displaystyle{ w_2^\prime=w_2-2w_1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
1&-11&8&15&|&13 \\
\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_3^\prime=w_3-w_1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
0&-8&5&11&|&8 \\
\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_3^\prime=w_3+w_2}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
0&0&0&0&|&0 \\
\end{matrix}\right]}\)
Udało nam się wyzerować ostatni wiersz. Gdyby wyraz wolny był niezerowy, to w takim wypadku układ byłby sprzeczny. W naszym przypadku wykreślamy ostatni wiersz.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&-3&3&4&|&5 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
\end{matrix}\right]}\)
Teraz już szukamy tylko macierzy jednostkowej \(\displaystyle{ 2 \times 2}\):
\(\displaystyle{ w_1^\prime=w_1+\frac{3}{8}w_2}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&0&\frac{9}{8}&-\frac{1}{8}&|&2 \\
0&8&-5&-11&|&-8 \\
\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_2^\prime=\frac{w_2}{8}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
1&0&\frac{9}{8}&-\frac{1}{8}&|&2 \\
0&1&-\frac{5}{8}&-\frac{11}{8}&|&-1 \\
\end{matrix}\right]}\)
Mamy już macierz jednostkową \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Teraz niewiadome, które odpowiadają kolumnom poza tą macierzą jednostkową (czyli trzeciej i czwartej kolumnie) stają się parametrami. Mamy zatem:
\(\displaystyle{ x_1+\frac{9}{8}\alpha-\frac{1}{8}\beta=2}\)
\(\displaystyle{ x_1=2-\frac{9}{8}\alpha+\frac{1}{8}\beta}\)
\(\displaystyle{ x_2-\frac{5}{8}\alpha-\frac{11}{8}\beta=-1}\)
\(\displaystyle{ x_2=-1+\frac{5}{8}\alpha+\frac{11}{8}\beta}\)
\(\displaystyle{ x_3=\alpha}\)
\(\displaystyle{ x_4=\beta}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2\\-1\\0\\0\end{matrix}\right]+\alpha \left[\begin{matrix}-\frac{9}{8}\\\frac{5}{8}\\1\\0\end{matrix}\right]+\beta \left[\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{11}{8}\\0\\1\end{matrix}\right],\alpha,\beta\in\mathbb{R}}\)
(oczywiście, gdybyśmy mieli układ n równań z n niewiadomymi, to być może udałoby się znaleźć macierz jednostkową \(\displaystyle{ n\times n}\) - wtedy nie byłoby żadnych parametrów, układ miałby po prostu jedno rozwiązanie).