Macierz endomorfizmu i wyznaczanie macierzy diagonalnej.

[mufin]

Witam, mam dany endomorfizm:

\(\displaystyle{ (f(P))(x) = (2x + 1)P(x) - (x^{2} -1)P`(x)}\)
P to funkcja operująca na wielomianach stopnia co najwyżej drugiego.

Mam stworzyć macierz odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ B=(1, x, x^2)}\)
No to tworzę.
To znaczy licze wartość najpierw dla 1, potem dla x, potem dla \(\displaystyle{ x^2}\) tak ?

No to wychodzi dla 1 coś takiego:
\(\displaystyle{ 2x + 1}\)
Dla x:
\(\displaystyle{ x^2 + x + 1}\)

Oraz dla \(\displaystyle{ x^2}\):
\(\displaystyle{ x^2 + 2x}\)

Zatem macierz wygląda tak:
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 2& 1 \\
1 &1& 1 \\
1 &2& 0
\end{array} \right]}\)
Tak ?
Jeśli tak to liczymy własności własne które wychodzą: -1 (podwójny) oraz 3 (pojedyńczy).
Wstawiam te wartości do macierzy A i liczę bazy wektorów własnych które prezentują się tak:
\(\displaystyle{ Lin V_{1}= { (-1, 0, 1), (-2, 1, 0) }}\)
oraz
\(\displaystyle{ Lin V_{2}= { (1, 1, 1) }}\)
Zatem wymiary tych baz się zgadzają (wynoszą tyle ile krotności własności własne).
Wyznaczamy zatem macierz P (chodzi tu o wzór \(\displaystyle{ D = PAP^(-1)}\) )

\(\displaystyle{ P =
\left[ \begin{array}{ccc}-1 &-2& 1 \\
0& 1& 1 \\
1& 0& 1 \\
\end{array} \right]}\)

Teraz posługując się wolframem liczę to, i jest problem, ponieważ nie wychodzi w ogóle macierz diagonalna, po wymnożeniu \(\displaystyle{ PAP^{-1}}\)
Wychodzi coś takiego:}}

Edit: Cholera jak tu sie robi macierze i czemu url nie działa ?

[Qń]

Zatem macierz wygląda tak:
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 2& 1 \\
1 &1& 1 \\
1 &2& 0
\end{array} \right]}\)
Tak ?

Nie. Współczynnikami obrazu wektorów bazowych (czyli \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\)) w tej samej bazie są
\(\displaystyle{ 1+2x= [1,2,0]_B\\
1+x+x^2=[1,1,1]_B\\
2x+x^2=[0,2,1]_B}\)
(kolejność wektorów bazowych jest istotna!).

Macierz przekształcenia w podanej bazie ma te wektory w kolumnach, więc będzie to:
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1& 0 \\
2 &1& 2 \\
0 &1& 1
\end{array} \right]}\)

Q.

[mufin]

Ok, racja.
Wobec tego liczymy wartości własne które wynoszą: 3, 1, -1
Liczymy bazy podprzestrzeni i otrzymujemy

\(\displaystyle{ P = \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 1& 1 \\
2 &-2& 0 \\
1 &1& -1
\end{array}
\right]}\)

Zgadza się ? Chyba jednak coś musi być źle gdyż licząc wolframem znowu nie otrzymujemy spodziewanego wyniku ?

[Qń]

Nie wiem co próbujesz liczyć w Wolframie, ale zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\)
i rzeczywiście tutaj wszystko się zgadza.

Q.