Problem z układem równań

[Fisher90]

Treść zadania: Obliczając wyznaczniki układu uzasadnić, że nie można stosować wzorów Cramera. Rozwiązać układ metodą eliminacji:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y-2z=-1\\2x+3y+z=8\\-x+2y+3z=5 \end{array}}\)

Jak dotychczas mam to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&-2&-1\\2&3&1&8\\-1&2&3&5\end{array}\right]\stackrel{W _{2}\prime=W _{1}\cdot(-2)+W _{2}, W _{3}\prime=W _{1}+W _{3} }{=}\left[\begin{array}{cccc}1&-1&-2&-1\\0&5&5&10\\0&1&1&4\end{array}\right]\stackrel{W _{3}\prime=W _{2}\cdot(- \frac{1}{5}+W _{3} }{=}\left[\begin{array}{cccc}1&-1&-2&-1\\0&5&5&10\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ 5y+5z=10}\)
\(\displaystyle{ 5z=10-5y /:5}\)
\(\displaystyle{ z=2-y}\)
\(\displaystyle{ x-y-2z=-1}\)
\(\displaystyle{ x-y-2(2-y)=-1}\)
\(\displaystyle{ x-y-4+2y=-1}\)
\(\displaystyle{ x+y=-1+4}\)
\(\displaystyle{ x+y=5}\)
Hmmm no nie wiem co zrobić, aby rozwiązać ten układy.

[miodzio1988]

Wyszło Ci na koniec \(\displaystyle{ 0=2}\) zatem uklad jest sprzeczny (obliczen nie sprawdzam)

[Fisher90]

Obliczenia wg mnie są dobre, ponieważ sprawdzałem 2 razy po obliczeniu.
Mimo, iż układ jest sprzeczny mogę nadal wyliczyć wyznacznik?

[miodzio1988]

Możesz.

[Fisher90]

Do obliczenia wyznacznika zastosowałem regułę Sarrusa.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\2&3&1\\-1&2&3\end{array}\right|}\)
Po prawej stronie za kreską w pierwszym wierszu powinno być 1 i -1, w drugim 2 i 3, a w trzecim -1 i 2 (nie potrafię tego zrobić w LaTeX`ie).
Obliczenie wyznacznika:
\(\displaystyle{ [1\cdot3\cdot3+(-1)\cdot1\cdot(-1)+(-2)\cdot2\cdot2]-[(-2)\cdot3\cdoit(-1)+1\cdot1\cdot2+(-1)\cdot2\cdot3]=[9+2-8]-[6+2-6]=3-2=1}\)
Dobrze wykonałem obliczenie wyznacznika stosując zasadę Sarrusa?
I jeszcze jedno pytanie, wyznacznik liczę z klamry pierwszej? Wolę się upewnić, bo jak liczę z ostatniej no to wychodzi mi zero (w końcu w dolnym wierszu są zera, więc inny wynik nie jest możliwy ).

[Qń]

\(\displaystyle{ =1}\)
Dobrze wykonałem obliczenie wyznacznika stosując zasadę Sarrusa?

Nie, wyznacznik wychodzi zero: \(\displaystyle{ (-1)\cdot 1 \cdot (-1)\neq 2}\)
Jeśli układ jest sprzeczny, to od razu wiadomo, że wyznacznik musi się zerować.

Q.

[Fisher90]

No rzeczywiście mój błąd.

Jeśli układ jest sprzeczny, to od razu wiadomo, że wyznacznik musi się zerować.

O tym nie wiedziałem. Dzięki za informację.

Ponawiam pytanie, wyznacznik liczy się z tej pierwszej klamry, czy z tej trzeciej?
Ja policzyłem z tej pierwszej, ale wolę się upewnić.

[Qń]

Wszystko jedno - dodawanie i odejmowanie wielokrotności jakiegoś wiersza do innego nie zmienia wartości wyznacznika.

Q.

[Fisher90]

Zapomniałem jeszcze o jednym. Obliczając wyznacznik mam uzasadnić, że nie można stosować wzorów Cramera.
Według mnie odpowiedź może brzmieć następująco: Po rozwiązaniu układu równań, który okazał się układem sprzecznym, co za tym idzie wyznacznik będzie równy zero, nie można zastosować wzorów Cramera.
Dobra byłaby to odpowiedź na pytanie?

[miodzio1988]

Troszke nie. Jedynie wspomnij o zerowym wyznaczniku i wtedy bedzie ok