Pytanie o metodę gaussa w układach równań liniowych

vitar · Post autor: **vitar** » 14 lut 2011, o 15:30

Witam !
Szukałem informacji o tej metodzie jak ją zastosować do układu cramera i układu nxk.

Wiem już, że macierz trzeba przekształcić do postaci schodkowej
I tu pytania:

1. Czy wyznacznik musi być różny od zera przy wyznaczaniu gaussem ?
2. Czy pierwszy element macierzy schodkowej zawsze jest różny od 0 ?
3. Czy należy dążyć do tego aby w ostatnim wierszu były same zera ? Czy tylko jeżeli to jest możliwe ?
4. Czy jest jakaś kolejność przy wyznaczaniu postaci schodkowej macierz ? Bo zauważyłem, że zawsze na początku mnożymy pierwszy wiersz przez współczynnik pierwszego elementu wiersza 2 i dodajemy go do 2 wiersza, to samo z 3,4.
5. Kiedy już wyznaczę postać schodkową co dalej ? Nie mogę tego zrozumieć dokładnie jak z przykładów z sieci wyłaniają się nagle rozwiązania czasami dziwne, bo nie są konkretne np. 2,1,3 tylko 2t itp. z dodatkowym współczynnikiem

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2011, o 15:31

1. Wyznacznik czego?

vitar · Post autor: **vitar** » 14 lut 2011, o 15:36

wyznacznik macierzy

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2011, o 15:37

Ktorej macierzy ? Konkretnie

vitar · Post autor: **vitar** » 14 lut 2011, o 15:43

Generalnie już rozumiem rozwiązywanie układu gdzie jest n równań i n niewiadomych (macierz kwadratowa)
tj.
1. Wyznaczanie macierzy schodkowej aby skasować niewiadome
2. Rozwiązywanie układu od dołu w górę

Jednak,weźmy przykład z wikipedi:

Przykład pod nagłówkiem "Rozwiązywanie układów równań liniowych"

Dlaczego za x4 zostało podłożone t, skoro wyszło 0=0 ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2011, o 15:45

No wlasnie dlatego, że wyszło \(\displaystyle{ 0=0}\) możemy stwierdzić, że ostatnie rownanie nie ma znaczenia. Zatem ilosc niewiadomych zostaje taka sama , ale ilosc rownan maleje. Patrzymy na twierdzenie K-C i mamy odpowiedz

vitar · Post autor: **vitar** » 14 lut 2011, o 15:53

1. czyli jak wyjdzie 0=0 to za tą niewiadomą zawsze podstawiamy zmienną ?
2. Twierdzenie K-C odnosi się tylko do równań n liniowych z k niewiadomymi czy ma też zastosowanie do układów równań n liniowych z n niewiadomymi ? Czy może w przypadku tych ostatnich liczy się wyznacznik macierzy głównej który musi być różny od 0 ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2011, o 15:54

1. Tą tzn którą?

2. \(\displaystyle{ k}\) przecież może być równe \(\displaystyle{ n}\)...

vitar · Post autor: **vitar** » 14 lut 2011, o 16:01

1. W przykładzie z wikipedii, kiedy 0=0, za x4 podstawiamy zmienną t. Kiedy tak się zeruje zawsze podstawiamy taką zmienną ? Wtedy też rozwiązania ze zmiennymi ? (tak jak miało to miejsce w tym przykładzie)

2. Czyli K-C ma zastosowanie zarówno dla macierzy kwadratowych jak i prostokątnych
Gdzieś widziałem jak w przykładzie był liczony wyznacznik macierzy 3x3 i kiedy był różny od 0, pisało "czyli możemy użyć metody gaussa" . I mam to w pamięci. Czy wyznacznik macierzy jest tu do czegokolwiek potrzebny ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2011, o 16:05

1. Zależy ile tych zmiennych i równań jest.

2. Tak

Wyznacznik tylko do wzorów Cramera

vitar · Post autor: **vitar** » 14 lut 2011, o 16:41

Teraz znalazłem przykład. I wiem, że jeżeli wyznacznik macierzy głównej kwadratowej jest równy 0 to wtedy nie można działać wzorami Cramera tylko metodą Gaussa i wynik wychodzi ze zmiennymi bo w ostatnim równaniu będzie 0=0.