znajdź wszystkie macierze 2-go stopnia których kwadrat jest

[kalu91]

znajdź wszystkie macierze 2-go stopnia których kwadrat jest równy macierzy zerowej

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
a&b\\
c&d\\
\end{array}\right]$$ ^{2}}\) =\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
0&0\\
0&0\\
\end{array}\right]$$}\)

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
a&b\\
c&d\\
\end{array}\right]$$ \cdot}\) \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
a&b\\
c&d\\
\end{array}\right]$$}\) = \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
0&0\\
0&0\\
\end{array}\right]$$}\)

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
a^2+bc&ab+bd\\
ca+dc&bc+d^2\\
\end{array}\right]$$}\) = \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
0&0\\
0&0\\
\end{array}\right]$$}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+bc=0 \\ab+bd=0 \\ca+dc=0 \\ bc+d^2=0 \end{cases}}\)

To jest chyba układ jednorodny...
Czy mógłby ktoś powiedzieć mi, czy moje rozwiązanie jest w miare dobrze i dokończyć układ równań?? Z góry dzięki

[mateuszek89]

Odejmij 1 i 4 równanie. Rozłóż to na czynniki. Wyjdzie \(\displaystyle{ a=d}\) lub \(\displaystyle{ a=-d}\) i teraz dla każdego warunku popatrz czy są spełnione inne równania i jakie muszą być \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).

[kalu91]

dla a=d

ab+ab=0
2ab=0 |:2
ab=0 |:a
b=0

ca+ca=0
2ca=0
c=0

a dla a=-d wychodzi 0=0

czyli podsumowując mozna napisać ze a=b=c=d=0?

[mateuszek89]

Nie. rozpatrujesz każdy przypadek oddzielnie. tzn. Gdy \(\displaystyle{ a=d}\) mamy:
\(\displaystyle{ ab+ab=0 \Rightarrow 2ab=0 \Rightarrow ab=0}\) czyli \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\) z 3 równania masz \(\displaystyle{ ac=0}\) czyli \(\displaystyle{ a=0 \vee c=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ a=0=d}\) to \(\displaystyle{ b,c}\) dowolne. Jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to \(\displaystyle{ b=0 \wedge c=0}\) i \(\displaystyle{ a,d}\) dowolne \(\displaystyle{ \in R}\). Musisz tylko ładnie to zapisać i rozpatrzyć 2 przypadek.

[kalu91]

czyli istnieją 4 takie macierze z poniższymi warunkami??

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
0&0\\
0&0\\
\end{array}\right]$$}\) dla a=b=c=d=0

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
0&b\\
c&0\\
\end{array}\right]$$}\) dla a=d=0 \(\displaystyle{ \wedge}\) b,c-dowolne

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
a&0\\
0&d\\
\end{array}\right]$$}\) dla a=d \(\displaystyle{ \neq}\)0 \(\displaystyle{ \wedge}\) b=c=0

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
a&b\\
c&-d\\
\end{array}\right]$$}\) dla a=-d \(\displaystyle{ \wedge}\) b,c - dowolne

[mateuszek89]

Wystarczą 2 ostatnie odpowiedzi z zastrzeżeniem do pierwszej, że \(\displaystyle{ a,d}\) dowolne takie, że \(\displaystyle{ a=d}\). i do 2 \(\displaystyle{ a,d}\) dowolne takie, że \(\displaystyle{ a=-d}\). Wtedy Twoje pierwsze 2 przypadki są już rozpatrywane. Pozdrawiam!

[kalu91]

wielkie dzięki Pozdrawiam