baza wektorów

[wlkp]

Witam!

Mam problem z zadaniem w którym mam podane wektory \(\displaystyle{ a=(1,2,0)}\); \(\displaystyle{ b=(-1,3,5)}\). Mam znaleźć wektor c który tworzy bazę z wektorami \(\displaystyle{ a, b}\).

Jak to zrobić? Podejrzewam że oblicza się jakoś ten wektor \(\displaystyle{ c}\), a nie wymyśla się z głowy takiego wektora \(\displaystyle{ c}\) który jest liniowo niezależny z wektorami \(\displaystyle{ a, b}\).

[qaz_137]

W takim przypadku wystarczy że weźmiesz iloczyn wektorowy podanych wektorów - powstały wektor będzie liniowo niezależny, więc wszystkie trzy stworzą bazę przestrzeni trój wymiarowej

[xanowron]

Można liczyć, a można wymyślić jakiś wektor i potem pokazać, że jest liniowo niezależny z danymi wektorami.
Wektor \(\displaystyle{ c}\) możesz sobie zapisać jako \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) i sprawdzić kiedy jest liniowo niezależny (sprawdzasz w dowolny sposób) z danymi wektorami (to wystarczy do tego, żeby układ \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) był bazą).
Można też powiedzieć od razu, że wystarczy wziąć np. \(\displaystyle{ c= \epsilon_1=(1,0,0)}\) i pokazać, że rzeczywiście dostaniemy wtedy bazę. Najłatwiej jest dobierać właśnie wektory z bazy kanonicznej.

[wlkp]

Wektor \(\displaystyle{ c}\) możesz sobie zapisać jako \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) i sprawdzić kiedy jest liniowo niezależny

a jak to sprawdzić? układ równań? jak tak to jak taki układ ma wyglądać?

[xanowron]

Masz 3 wektory w przestrzeni trójwymiarowej, na sprawdzenie liniowej niezależności jest kilka sposobów. Nie pamiętasz żadnego?

[wlkp]

wiem jak sprawdzić czy wekory są liniowo niezależne mając liczby. Z tego co napisałeś zrozumiałem że tworze macierz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&0\\-1&3&5\\a&b&c\end{bmatrix}}\)

ale co z tym dalej zrobić?
liczę tak jak był to wyznacznik i wychodzi mi \(\displaystyle{ 10a-5b+c}\) i nie wiem co to znaczy

[xanowron]

Jak wyznacznik jest różny od zera to wektory są liniowo niezależne. Teraz dobierz tak parametry aby wyznacznik był niezerowy i po zadaniu.