Wyznacznik macierzy nxn z rozwinięcia La'Place'a

[karcia19]

Dokonujac rozwinięcia LaPlace'a względem pierwszej kolumny lub ostatniego wiersza oblicz wyznacnzik macierzy nxn.
Jakieś propozycje? w jaki sposob zabrac sie do takiego wyznacznika?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccccc}a&-b&0&.&.&.&0&0\\0&a&-b&.&.&.&0&0\\0&0&a&.&.&.&0&0\\.&.&.& & & &.&.\\.&.&.& & & &.&.\\.&.&.& & & &.&.\\0&0&0&.&.&.&a&-b\\-b&0&0&0&0&0&0&a\end{array}\right]}\)

[rtuszyns]

Najpierw napisać rozwinięcie Laplace'a dla pierwszej kolumny. Zauważyć da się że dostaniemy jedynie dwa komponenty więc należy tylko dokładnie zająć się nimi...

[karcia19]

Ale w jaki sposób mam to rozwinąć, względem pierwszej kolumny? W jaki sposob mam pozbyc się tego -b ? Bo bede chciała wygenerować a i same zera w pierwszej kolumnie, tak?
Mogę prosić o delikatnie rozpisanie tego?

[rtuszyns]

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccccccc}
a&-b&0&.&.&.&0&0\\ 0&a&-b&.&.&.&0&0\\0&0&a&.&.&.&0&0\\.&.&.& & & &.&.\\.&.&.& & & &.&.\\.&.&.& & & &.&.\\0&0&0&.&.&.&a&-b\\-b&0&0&0&0&0&0&a\end{array}\right]\\
\det A=(-1)^{1+1}a\det \left[\begin{array}{ccccccc}
a&-b&.&.&.&0&0\\0&a&.&.&.&0&0\\.&.& & & &.&.\\.&.& & & &.&.\\.&.& & & &.&.\\0&0&.&.&.&a&-b\\0&0&0&0&0&0&a\end{array}\right]+(-1)^{1+n}(-b)\det \left[\begin{array}{ccccccc}-b&0&.&.&.&0&0\\a&-b&.&.&.&0&0\\0&a&.&.&.&0&0\\.&.& & & &.&.\\.&.& & & &.&.\\.&.& & & &.&.\\0&0&.&.&.&a&-b\end{array}\right]=a\times a^n+(-1)^{n+1}(-b)\times (-b)^n=a^{n+1}+(-1)^{n+1}(-b)^{n+1}}\)

Jeżeli się pomyliłem - proszę śmiało pisać...

------

poprawione

[karcia19]

Kompletnie nie rozumiem pierwszego przejścia...W jaki sposob wygenerowales zera w pierwszej kolumnie?

[rtuszyns]

To nie jest generowanie zer tylko skreślenie pierwszej kolumny i pierwszego wiersza...

--- 2011.02.10 12.07 ---
Wniosłem małą poprawkę (błąd w zapisie) pierwszej macierzy w liczeniu wyznacznika.