Wyznacznik macierzy z parametrem.

[augustulus]

Witam, mam zadanie do sprawdzenia:
Dla jakich warosci parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) wyznacznik podanej macierzy jest niezerowy.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&1&0&-1\\1&-1-a&1&0\\-1&1&1+a&0\\0&-1&-1&-a\end{bmatrix}}\)

Zaczalem od rozwinieca LaPlace'a:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&1+a&0&-1\\1&-a&1&0\\-1&0&1+a&0\\0&-1&-1&-a\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} a&1+a&0&-1\\0&-a&2+a&0\\-1&0&1+a&0\\0&-1&-1&-a\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} a&1+a&1+a&-1\\0&-a&2&0\\-1&0&0&0\\0&-1&0&-1\end{bmatrix} \rigtharrow -1 ^{3} * -1 \begin{bmatrix} 1+a&1+a&-1\\-a&2&0\\-1&0&-a\end{bmatrix}}\)

Nastepnie policzylem wyznacznik z ktorego wyszlo: \(\displaystyle{ -2a ^{2} -2a -2}\) a po skroceniu : \(\displaystyle{ a ^{2} + a + 1}\) czyli wzor skroconego mnozenia, ktory jest dodatni dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Mam nadzieje, ze wszystko zrobilem dobrze

[alfgordon]

na wolframie wyszło:
\(\displaystyle{ (a+1)^2 \cdot (a^2 +2)}\) ...


i nie wiem w jaki sposób otrzymałeś 3 przekształcenie...

[augustulus]

Masz racje, glupi blad zabieram sie za poprawianie.

[xanowron]

Ja proponowałbym jednak zrobić macierz górno/dolnotrójkątną. O ile oczywiście możesz tą metodę stosować