Wektory liniowo niezależne

[revell]

Niech \(\displaystyle{ \vec{x_{1}}}\), \(\displaystyle{ \vec{x_{2}}}\) będą wektorami liniowo niezależnymi. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) wektory \(\displaystyle{ \lambda \vec{x_{1}}+\vec{x_{2}}}\), \(\displaystyle{ \vec{x_{1}}+\lambda \vec{x_{2}}}\) są liniowo niezależne?
Jak rozwiązać tego typu zadanie?

[pyzol]

Możesz policzyć wyznacznik macierzy.
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}
\lambda &1\\
1&\lambda
\end{array}\right]}\)
Lub rozwiązać takie cosik.
Jeśli są linowo zależne to:
\(\displaystyle{ \alpha(\labda x_1+x_2)=(x_1+\lambda x_2)\\
(\alpha\lambda -1)x_1+(\alpha-\lambda)x_2=0}\)
Ale wektory \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) są niezależne i żeby wyszedł wektor zerowy musi być spełnione:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha\lambda-1=0 \\ \alpha-\lambda=0 \end{cases}}\)

[revell]

Mógłbyś jeszcze napisać z czego wynika ta macierz?

[pyzol]

A miałeś coś takiego jak baza. Ta macierz to zapis dwóch wektorów za pomocą wektorów bazowych.
Tak jak możesz sprawdzać niezależność wektorów [0,1],[3,2] za pomocą wyznacznika. To samo możesz zrobić dla takich wektorów. O ile tworzą one bazę.