Twierdzenie Clamera

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 12:48

dwa zadania na układach równań:

1. (6pkt) Stosując twierdzenie Clamera rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ y+ z=4\\2x+y-z=0\\-3x-y+2z=1\end{cases}}\)

2. (10pkt) W zbiorze R rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z=7t=5\\6x-3y+z-4t=7\\4x-2y+14z-31t=18\end{cases}}\)

W pierwszym wierszu występuje =7t nie wiem czy to błąd w druku czy też celowe. Zwróćcie na to uwagę bo może to być inny znak.

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 12:54

1. Wzory Cramera, najpierw wyznacznik główny\(\displaystyle{ W}\), później kolejno \(\displaystyle{ W_{x}, W_{y}, W_{z}}\)z tego masz:\(\displaystyle{ x=\frac{W_{x}}{W}}\)
2. raczej nie błąd, masz dzięki temu 4 równania i 4 niewiadome, można policzyć tak jak wyżej

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 21:51

co do pierwszego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ y+ z=4\\2x+y-z=0\\-3x-y+2z=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&1&-1\\-3&-1&2\end{array}\right|=11}\)

\(\displaystyle{ W _{x} =\left|\begin{array}{ccc}4&1&1\\0&1&-1\\-3&1&2\end{array}\right|=18}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{18}{11}}\)

\(\displaystyle{ W _{y} =\left|\begin{array}{ccc}1&4&1\\2&0&-1\\-3&-1&2\end{array}\right|=-7}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{-7}{11}}\)

\(\displaystyle{ W _{z} =\left|\begin{array}{ccc}1&1&4\\2&1&0\\-3&-1&2\end{array}\right|=3}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{3}{11}}\)

obliczenia dobrze zrobiłem czy gdzieś się wkradł błąd?

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 21:56

wyznacznik \(\displaystyle{ W}\) musisz poprawić, źle policzone, a wyznacznik \(\displaystyle{ W_{x}}\) źle wygenerowałeś, sprawdzam resztę-- 8 lut 2011, o 21:58 --w \(\displaystyle{ W_{y}}\)i\(\displaystyle{ W_{z}}\) też nakłamałeś, popraw

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 22:13

a teraz?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ y+ z=4\\2x+y-z=0\\-3x-y+2z=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&1&-1\\-3&-1&2\end{array}\right|=1}\)

\(\displaystyle{ W _{x} =\left|\begin{array}{ccc}4&1&1\\0&1&-1\\-3&1&2\end{array}\right|=2}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{1}=2}\)

\(\displaystyle{ W _{y} =\left|\begin{array}{ccc}1&4&1\\2&0&-1\\-3&-1&2\end{array}\right|=-7}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{-7}{1}=1}\)

\(\displaystyle{ W _{z} =\left|\begin{array}{ccc}1&1&4\\2&1&0\\-3&-1&2\end{array}\right|=-3}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{-3}{1}=-3}\)

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 22:25

jeszcze raz popraw, tzn. wyznacznik \(\displaystyle{ W}\) jest OK. tylko teraz bardziej uważaj, jak zamieniasz odpowiednie kolumny, wynik w \(\displaystyle{ W_{x}}\) masz dobrzy ale wyznacznik źle napisany, \(\displaystyle{ W_{y}, W_{z}}\) jest jeszcze źle, mylisz ostatnią cyfrę w tej kolumnie

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 22:32

\(\displaystyle{ W _{x}}\) nie rozumiem. Nie wychodzi 2?

\(\displaystyle{ W _{y} =\left|\begin{array}{ccc}1&4&1\\2&0&-1\\-3&1&2\end{array}\right|=-1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{-1}{1}=-1}\)

\(\displaystyle{ W _{z} =\left|\begin{array}{ccc}1&1&4\\2&1&0\\-3&-1&1\end{array}\right|=3}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{3}{1}=3}\)

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 22:38

teraz \(\displaystyle{ W_{y}}\) i \(\displaystyle{ W_{z}}\) OK, a co do \(\displaystyle{ W_{x}}\) to wychodzi 2, tylko w lewym dolnym rogu macierzy powinieneś mieć 1, a nie -3, i dopiero wynik jest równy 2

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 22:41

aha tak źle edytował ostatniego posta i nie zauważyłem błędu:) więc rozumiem że teraz jest dobrze:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ y+ z=4\\2x+y-z=0\\-3x-y+2z=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&1&-1\\-3&-1&2\end{array}\right|=1}\)

\(\displaystyle{ W _{x} =\left|\begin{array}{ccc}4&1&1\\0&1&-1\\1&-1&2\end{array}\right|=2}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{1}=2}\)

\(\displaystyle{ W _{y} =\left|\begin{array}{ccc}1&4&1\\2&0&-1\\-3&1&2\end{array}\right|=-1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{-1}{1}=-1}\)

\(\displaystyle{ W _{z} =\left|\begin{array}{ccc}1&1&4\\2&1&0\\-3&-1&1\end{array}\right|=3}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{3}{1}=3}\)

więc zabieram się do drugiego:)

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 22:43

w \(\displaystyle{ W_{x}}\) kolumna środkowa, ostatni szereg

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 22:53

a tak zapomniałem minusa - poprawione.

co do:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z=7t=5\\6x-3y+z-4t=7\\4x-2y+14z-31t=18\end{cases}}\)

można z tego zrobić coś takiego? dobrze rozumiem?

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}2&-1&3&7\\6&-3&1&-4\\4&-2&14&-31\\0&0&0&7\end{array}\right|}\)

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 23:00

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}2&-1&3&-7\\2&-1&3&0\\6&-3&1&-4\\4&-2&14&-31\end{array}\right|}\)-- 8 lut 2011, o 23:02 --chociaż ten też jest chyba ok, niech to ktoś sprawdzi :\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}2&-1&3&-7\\6&-3&1&-4\\4&-2&14&-31\\0&0&0&7\end{array}\right|}\)

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 23:09

ok. Więc można od 1 wiersza odjąć 2 i wychodzi?

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}0&0&0&-7\\2&-1&3&0\\6&-3&1&-4\\4&-2&14&-31\\0&0&0&7\end{array}\right|}\)

i dalej korzystać z twierdzenia Laplace?

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 23:14

tylko zastanawiam się skąd wziąłeś ostatni wiersz?

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 23:17

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}0&0&0&-7\\2&-1&3&0\\6&-3&1&-4\\4&-2&14&-31\end{array}\right|}\)

wybacz ten Latex to dla mnie jest mało czytelny i przez to tak się gubię przy edycji