jakie sa wektory glowne tej macierzy?

[Karka]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&0&4\\0&-1&0\\-2&0&-3\end{array}\right]}\)
Wyznaczylam wartosci własne, wielomian charakterystyczny wyszedl :\(\displaystyle{ (1+ \lambda)^{2}*(1-\lambda)}\), czyli -1 jest dwukrotnym pierwistkiem wielmianu, z tego wynika ze dla wartosci wlasnej \(\displaystyle{ \lambda=-1}\) powinny istniec 2 liniowo niezalezne wektory glowne. Mam problem z ich wyznaczeniem.
Dla \(\displaystyle{ \lambda =-1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&0&4\\0&0&0\\-2&0&-2\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\), czyli wynik jest taki:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}s\\t\\-s\end{array}\right]}\), czy maja być takie 2 wektory glowne: s*\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\-1\end{array}\right]}\) oraz t*\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\end{array}\right]}\)? Jeżeli ta druga opcja to ktory z nich jest pierwszego rzędu a ktory drugiego?

[alfgordon]

jeżeli dla: \(\displaystyle{ \lambda = -1}\) istnieją dwa wektory własne, ( a widać, że istnieją, wg twoich obliczen) to wynika ze macierz jest diagonalizowalna ( bo wymiar jest równy krotności), i te 3 wektory własne tworzą bazę w \(\displaystyle{ R^3}\)

więc dla \(\displaystyle{ \lambda =1}\) istnieje tylko jeden wektor własny..

[Karka]

Przepraszam, tam ma byc ze dla \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)istnieja 2 liniowo niezalezne wektory glowne,juz poprawiam. Nie zrozumialam, czy to byla odpowiedz na moje pytanie? Czemu piszesz że macierz jest diagonalizowalna, to jest istotne dla rozwiazania? Dopowiem jeszcze ze w zadaniu chce znalezc macierz P dla tej pierwszej macierzy(A), tak zeby \(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\), gdzie J jest macierza Jordana.

[alfgordon]

no musisz wiedzieć czy jest diagonalizowalna.. bo wtedy wiesz że istnieją 3 wektory własne które tworzą bazę, i jednocześnie jest to szukana macierz "P"skladająca sie z wektorów własnych ( jej kolumny to te wektory)

a macierz J to macierz diagonalna na której przekątnej są jej wartosci własne

[Karka]

aha, czyli tak wyglada macierz Jordana dla tej macierzy. Chyba zle sie zabralam do robienia tego zadania. Bo w zadaniu jest pytanie czy macierz A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&0&4\\0&-1&0\\-2&0&-3\end{array}\right]}\)
jest podobna do macierzy B=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&1\\0&0&-1\end{array}\right]}\). Myslalam ze B jest macierza Jordana macierzy A i tak chcialam pokazac ze sa podobne. W takim razie jak sprawdzic czy macierze A i B sa podobne?

[alfgordon]

Jeśli macierze są podobne, to mają równe wyznaczniki i równe ślady.